京都大学 2001年度
理系数学 第6問

解答

求める積分を $I_n$ とおく。$|\sin nx|$ の周期は $\pi /n$ であり、区間 $[0,n\pi ]$ は

に分けられる。

この小区間で $u=nx-k\pi$ とおくと、$0\leqq u\leqq \pi$、$dx=du/n$ であり、また $|\sin nx|=|\sin (u+k\pi )|=\sin u$ である。さらに $x=\frac{u+k\pi }{n}$ だから $e^{-x}=e^{-(u+k\pi )/n}=e^{-k\pi /n}{e}^{-u/n}$ である。

したがって $I_n={\sum }_{k=0}^{n^2-1}{\int }_{k\pi /n}^{(k+1)\pi /n}{e}^{-x}|\sin nx|dx$ $=\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n^2-1}{e}^{-k\pi /n}{\int }_0^{\pi }{e}^{-u/n}\sin udu$ となる。すなわち

である。

まず、$0\leqq u\leqq \pi$ では $e^{-u/n}\to 1$ であり、しかも $0<e^{-u/n}\leqq 1$ だから ${\int }_0^{\pi }{e}^{-u/n}\sin udu\to {\int }_0^{\pi }\sin udu=2$ である。より具体的には $0\leqq 1-e^{-u/n}\leqq u/n\leqq \pi /n$ より、差の積分は0に近づく。

次に等比数列の和は ${\sum }_{k=0}^{n^2-1}{e}^{-k\pi /n}=\frac{1-e^{-n\pi }}{1-e^{-\pi /n}}$ である。したがって

となる。$1-e^{-n\pi }\to 1$ であり、$n(1-e^{-\pi /n})\to \pi$ だから $\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n^2-1}{e}^{-k\pi /n}\to \frac{1}{\pi }$ である。

以上より $I_n\to 2\cdot \frac{1}{\pi }=\frac{2}{\pi }$ である。したがって求める極限値は $\frac{2}{\pi }$ である。

別解。各小区間 $[k\pi /n,(k+1)\pi /n]$ では $e^{-x}$ は単調減少であるから $e^{-(k+1)\pi /n}\leqq e^{-x}\leqq e^{-k\pi /n}$ である。また

である。よって

となる。右辺は $\frac{2}{n}\frac{1-e^{-n\pi }}{1-e^{-\pi /n}}\to \frac{2}{\pi }$ であり、左辺は右辺に $e^{-\pi /n}$ を掛けたものなので同じく $2/\pi$ に近づく。はさみうちの原理により、$I_n\to 2/\pi$ である。