問題
整数に対しとおき，と定める．ただし，は虚数単位を表す．このとき，が任意の整数に対して成り立つような正の整数をすべて求めよ．
出典：京都大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
の累乗は指数を4で割った余りだけで決まる。したがって は、指数 の差 がすべての整数 について4の倍数になることと同値である。差を と展開し、 の係数と定数項がともに4の倍数になる条件を調べる。最後に逆向きの確認をして、必要十分条件として答える。
解答
である。 は指数 を4で割った余りだけで決まるから、 がすべての整数 について成り立つことは がすべての整数 について4の倍数であることと同値である。
この差を計算すると である。
まず、これがすべての整数 で4の倍数になるなら、 を1増やしたときの差である も4の倍数でなければならない。そこで とおく。このとき定数項は である。 は奇数なので、 が4の倍数であるためには が偶数であることが必要である。したがって は8の倍数でなければならない。
逆に とおくと は4の倍数であり、また も4の倍数である。よって任意の整数 について が成り立つ。
以上より、求める正の整数 は すなわち8の正の倍数である。
別解。指数 を4で割った余りを について並べると であり、 を8増やすと だけ指数が増える。したがって周期8である。一方、 のどれについても、上の8個の並びは だけずらして一致しない。よって最小の正の周期は8であり、すべての周期は8の正の倍数である。