京都大学 2001年度
理系数学 第5問

解答

(1)

$z_1,z_2$ を先に選ぶと、積を1にするための $z_3$ は $z_3=(z_1{z}_2{)}^{-1}$ とただ1通りに決まる。ただし、問題では各 $z_j$ が1でない $p$ 乗根でなければならないので、$z_3=1$ となる場合は除く必要がある。 $z_1,z_2$ の選び方は $(p-1{)}^2$ 通りである。このうち $z_3=1$ となるのは $z_1{z}_2=1$ のときであり、$z_1$ を1でない $p$ 乗根として選べば $z_2=z_1^{-1}$ はただ1通りに決まる。したがってそのような組は $p-1$ 通りである。

よって $a_3=(p-1{)}^2-(p-1)=(p-1)(p-2)$ である。

(2)

長さ $n+1$ の列 $(z_1,z_2,\dots ,z_n,z_{n+1})$ を考える。前の $n$ 個の積を $w=z_1{z}_2\cdots z_n$ とする。積全体を1にするためには $z_{n+1}=w^{-1}$ でなければならない。これはただ1通りに決まるが、$z_{n+1}\ne 1$ である必要があるから、必要十分条件は $w\ne 1$ である。

前の $n$ 個の選び方は全部で $(p-1{)}^n$ 通りあり、そのうち積が1になるものが $a_n$ 通りである。したがって $a_{n+1}=(p-1{)}^n-a_n$ を得る。これを $(p-1{)}^n=a_n+a_{n+1}$ と書いておく。

さらに $a_{n+2}=(p-1{)}^{n+1}-a_{n+1}$ であるから、上の式を用いて $a_{n+2}=(p-1)(a_n+a_{n+1})-a_{n+1}$ となる。よって $a_{n+2}=(p-1)a_n+(p-2)a_{n+1}$ である。

(3)

(2)で得た $a_{n+1}=(p-1{)}^n-a_n$ を解く。右辺に現れる $(p-1{)}^n$ の影響を消すために $b_n=a_n-\frac{(p-1{)}^n}{p}$ とおく。このとき $b_{n+1}=a_{n+1}-\frac{(p-1{)}^{n+1}}{p}$ であり、$a_{n+1}=(p-1{)}^n-a_n$ を代入すると $b_{n+1}=(p-1{)}^n-a_n-\frac{(p-1{)}^{n+1}}{p}$ $=-a_n+\frac{(p-1{)}^n}{p}=-b_n$ となる。

また、長さ2の場合は $z_1{z}_2=1$ となるように $z_1$ を選べば $z_2=z_1^{-1}$ が決まるので $a_2=p-1$ である。したがって $b_2=a_2-\frac{(p-1{)}^2}{p}=p-1-\frac{(p-1{)}^2}{p}=\frac{p-1}{p}$ である。$b_{n+1}=-b_n$ より $b_n=\frac{p-1}{p}(-1{)}^n$ となる。

よって

である。

別解。(3)は(2)で得た2階漸化式からも解ける。特性方程式は $r^2-(p-2)r-(p-1)=0$ であり、$(r-(p-1))(r+1)=0$ と因数分解できる。したがって $a_n=A(p-1{)}^n+B(-1{)}^n$ と表せる。$a_2=p-1$、$a_3=(p-1)(p-2)$ を代入して $A,B$ を求めると $A=\frac{1}{p},B=\frac{p-1}{p}$ となり、同じく $a_n=\frac{(p-1{)}^n+(p-1)(-1{)}^n}{p}$ を得る。