京都大学 2001年度
理系数学 第1問

解答

$P=(t,t^3)$ とおく。曲線 $C:y=x^3$ の $P$ における接線の傾きは $3t^2$ である。傾き $a$ の直線を反時計回りに $45^{\circ }$ 回転すると、方向ベクトル $(1,a)$ は $(1-a,1+a)$ に移る。したがって、$a=1$ でなければ回転後の直線の傾きは $\frac{1+a}{1-a}$ である。

ここで $a=3t^2$ だから、$t^2\ne 1/3$ のとき、回転後の直線 $L$ の傾き $m$ は $m=\frac{3t^2+1}{1-3t^2}$ であり、直線 $L$ の方程式は $y-t^3=m(x-t)$ である。一方、$t^2=1/3$ のときは回転後の直線が鉛直線 $x=t$ となり、曲線 $y=x^3$ とは $(t,t^3)$ の1点でしか交わらない。したがってこの場合は条件を満たさない。

以下、$t^2\ne 1/3$ とする。$L$ と $C$ の交点の $x$ 座標は $x^3-t^3=m(x-t)$ を満たす。左辺を因数分解すると $(x-t)(x^2+tx+t^2)=m(x-t)$ であるから $(x-t)(x^2+tx+t^2-m)=0$ を得る。ここで $x=t$ は点 $P$ に対応する既知の交点である。

したがって $L$ が $C$ と相異なる3点で交わるためには、2次方程式 $x^2+tx+t^2-m=0$ が相異なる2つの実数解をもち、しかもその解が $t$ と一致しないことが必要十分である。判別式 $D$ は $D=t^2-4(t^2-m)=4m-3t^2$ である。$m=\frac{3t^2+1}{1-3t^2}$ を代入すると $D=\frac{4(3t^2+1)}{1-3t^2}-3t^2=\frac{9t^4+9t^2+4}{1-3t^2}$ となる。分子 $9t^4+9t^2+4$ は常に正であるから、$D>0$ となる条件は $1-3t^2>0$ すなわち $-\frac{1}{\sqrt{3}}<t<\frac{1}{\sqrt{3}}$ である。

また、残りの2次方程式に $x=t$ を代入すると $3t^2-m$ となる。もしこれが0なら $m=3t^2$ であるが、$\frac{3t^2+1}{1-3t^2}=3t^2$ は $3t^2+1=3t^2-9t^4$ を意味し、$9t^4+1=0$ となって実数 $t$ では不可能である。よって上の範囲で得られる2つの根は、どちらも $t$ とは異なる。

以上より、求める点 $P$ の範囲は、曲線 $y=x^3$ 上で $-\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}$ を満たす部分である。

別解。$P$ 以外の交点を $Q=(s,s^3)$ とおくと、直線 $PQ$ の傾きは $\frac{s^3-t^3}{s-t}=s^2+st+t^2$ である。$Q$ が回転後の直線 $L$ 上にあることは $s^2+st+t^2=m$ と同値である。したがって、$P$ 以外に相異なる2点を得る条件は、$s$ についての2次方程式 $s^2+ts+t^2-m=0$ が相異なる2実根をもつことである。以後は判別式 $t^2-4(t^2-m)=\frac{9t^4+9t^2+4}{1-3t^2}$ の符号を調べればよく、同じく $-1/\sqrt{3}<t<1/\sqrt{3}$ を得る。