京都大学 2001年度
理系数学 第2問

解答

純虚数解を $x=ti$ とおく。ただし $t$ は実数である。$i^2=-1$ より、各べきは $x^2=-t^2,x^3=-t^{3}i,x^4=t^4,x^5=t^{5}i$ と表される。これを与えられた方程式に代入して実部と虚部を比較すると $t^4-t^2+a=0$ および $t(t^4+t^2-a-1)=0$ を得る。

まず $t=0$ のとき、実部の式から $a=0$ である。実際、$x=0$ はこのとき純虚数解である。

次に $t\ne 0$ とする。このとき虚部の式から $t^4+t^2-a-1=0$ すなわち $a=t^4+t^2-1$ である。これを実部の式 $t^4-t^2+a=0$ に代入すると $t^4-t^2+t^4+t^2-1=0$ より $2t^4-1=0$ を得る。したがって $t^4=\frac{1}{2},t^2=\frac{1}{\sqrt{2}}$ である。$t^2$ は正なので、対応する実数 $t$ は存在する。

このとき $a=t^4+t^2-1=\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}-1=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$ となる。

以上より、求める $a$ の値は $a=0,\frac{\sqrt{2}-1}{2}$ である。