京都大学 2001年度理系数学第4問解答・解説

問題

$x y z$ 空間内の正八面体の頂点 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{6}$ とベクトル $v$ に対し， $k \neq = m$ のとき $P_{k} P_{m} \cdot v \neq = 0$ が成り立っているとする．このとき， $k$ と異なるすべての $m$ に対し $P_{k} P_{m} \cdot v < 0$ が成り立つような点 $P_{k}$ が存在することを示せ．

出典：京都大学 2001年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

各頂点を方向ベクトル $v$ に射影し、その射影量を比較する。仮定 $P_{k} P_{m} \cdot v \neq = 0$ は、どの2頂点も射影量が等しくないことを意味する。したがって射影量が最大の頂点を選べば、その頂点から他の頂点へ向かうベクトルの $v$ 方向成分はすべて負になる。

解答

原点を $O$ とし、各頂点 $P_{k}$ について

t_{k} = O P_{k} \cdot v (k = 1, 2, \dots, 6)

とおく。これは、頂点 $P_{k}$ が $v$ 方向にどれだけ進んだ位置にあるかを表す量である。 $k \neq = m$ のとき

t_{m} - t_{k} = (O P_{m} - O P_{k}) \cdot v = P_{k} P_{m} \cdot v

である。問題の仮定より右辺は0でないから、 $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{6}$ はすべて相異なる。

有限個の実数には最大値があるので、 $t_{1}, t_{2}, \dots, t_{6}$ のうち最大のものを $t_{k}$ とする。このとき $m \neq = k$ なら $t_{m} < t_{k}$ であり、したがって $P_{k} P_{m} \cdot v = t_{m} - t_{k} < 0$ である。

よって、この $P_{k}$ は任意の $m \neq = k$ について $P_{k} P_{m} \cdot v < 0$ を満たす。したがって条件を満たす頂点が存在する。

別解。 $v$ に垂直な平面を、 $v$ 方向へ動かしていくと考える。仮定により、どの2頂点もこの方向への高さが等しくないので、最後に触れる頂点はただ1つである。その頂点を $P_{k}$ とすると、他のどの頂点 $P_{m}$ も $P_{k}$ より $v$ 方向には手前にある。これはまさに $P_{k} P_{m} \cdot v < 0$ を意味する。

京都大学 2001年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

京都大学 2001年度
理系数学第4問