京都大学 2000年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

関数 $f (x)$ を $f (x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + t ^{2}} d t$ で定める．

(1) $y = f (x)$ の $x = 1$ における法線の方程式を求めよ．

(2) (1)で求めた法線と $x$ 軸および $y = f (x)$ のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ．

出典：京都大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

$f^{'} (x) = 1/ (1 + x^{2})$ と $f (1) = π /4$ から法線を求める。囲まれる領域を、 $0 ≦ x ≦ 1$ の曲線下と、法線が作る三角形に分けて積分する。

微分積分学の基本定理より

f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x ^{2}} .

また

f (1) = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t ^{2}} = \frac{π}{4} .

従って $x = 1$ における接線の傾きは $1/2$ 、法線の傾きは $- 2$ である。求める法線は

y - \frac{π}{4} = - 2 (x - 1),

すなわち

y = - 2 x + 2 + \frac{π}{4}

である。

法線の $x$ 軸との交点は

x = 1 + \frac{π}{8}

である。法線と曲線の差を $h (x)$ とすると

h^{'} (x) = - 2 - \frac{1}{1 + x ^{2}} < 0, h (1) = 0

だから、 $x < 1$ では法線が曲線より上にあり、両者は $x = 1$ 以外では交わらない。従って求める面積は

\int_{0}^{1} f (x) d x

と、底辺 $π /8$ 、高さ $π /4$ の三角形の面積との和である。

部分積分により

\int_{0}^{1} f (x) d x = [x f (x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} lo g 2.

また三角形の面積は

\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{8} \cdot \frac{π}{4} = \frac{π ^{2}}{64} .

よって求める面積は

\frac{π}{4} - \frac{1}{2} lo g 2 + \frac{π ^{2}}{64}

である。