京都大学 2000年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

直方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ において，四角形 $A B C D$ と四角形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ は向かい合った1組の面であり， $A A^{'}$ ， $B B^{'}$ ， $C C^{'}$ ， $D D^{'}$ はこの直方体の辺である．ここで $A A^{'} = 1$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ とする．この直方体の内部を通る線分 $A C^{'}$ 上に点 $P$ をとり， $P$ を通り $A C^{'}$ に垂直な平面による直方体の切り口を考える．

(1) $P$ が線分 $A C^{'}$ の中点であるとき，切り口は点 $B^{'}$ ， $D$ を通ることを示せ．

(2) $A P = x$ であるとき，切り口の面積 $S (x)$ を求めよ．

出典：京都大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

直方体に座標を入れ、切断面を $X + 2 Y + Z = 2 x$ と表す。 $X, Z$ 平面への射影領域は単位正方形を二本の平行線で切った部分となるので、その面積を $2 x$ の位置で場合分けする。

解答

座標を

A = (0, 0, 0), B = (1, 0, 0), D = (0, 2, 0), A^{'} = (0, 0, 1)

と定める。すると

C^{'} = (1, 2, 1), ∣ A C^{'} ∣ = 2.

$A P = x$ だから

P = (\frac{x}{2}, \frac{2 x}{2}, \frac{x}{2}) .

$A C^{'}$ の方向ベクトルは $(1, 2, 1)$ なので、 $P$ を通り $A C^{'}$ に垂直な平面は

X + 2 Y + Z = 2 x

である。

(1)

$P$ が中点なら $x = 1$ である。

B^{'} = (1, 0, 1), D = (0, 2, 0)

はいずれも $X + 2 Y + Z = 2$ を満たす。従って切り口は $B^{'}$ と $D$ を通る。

(2)

$u = X, w = Y / 2, z = Z$ とおくと、直方体内では

0 ≦ u, w, z ≦ 1

であり、切断面は

u + 2 w + z = 2 x

となる。 $w = (2 x - u - z) /2$ だから、 $u z$ 平面への射影領域 $D_{x}$ は

0 ≦ u, z ≦ 1, 2 x - 2 ≦ u + z ≦ 2 x

である。

切断面を

(u, z) ⟼ (u, \frac{2 x - u - z}{2}, z)

と表示すると、面積要素は $2 d u d z$ である。従って $S (x)$ は射影領域の面積の $2$ 倍である。

単位正方形内で $u + z ≦ t$ となる部分の面積は

A (t) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 t^{2} /2 1 - (2 - t)^{2} /2 1 (t ≦ 0), (0 ≦ t ≦ 1), (1 ≦ t ≦ 2), (t ≧ 2) .

従って

S (x) = 2 {A (2 x) - A (2 x - 2)} .

整理すると

S (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 22 x^{2} 2 {1 - 2 (1 - x)^{2}} 2 {1 - 2 (x - 1)^{2}} 22 (2 - x)^{2} 0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ≦ x ≦ 1, 1 ≦ x ≦ \frac{3}{2}, \frac{3}{2} ≦ x ≦ 2.

問題では $P$ は線分の内部にあるので $0 < x < 2$ であるが、上式は端点にも連続に延長してある。

京都大学 2000年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2000年度
後期・理系数学後期第4問