京都大学 2000年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

(1) $x ≧ 0$ のとき，不等式 $e^{x} ≧ 1 + \frac{1}{2} x^{2}$ が成立することを示せ．

(2) 自然数 $n$ に対して関数 $f_{n} (x) = n^{2} (x - 1) e^{- n x}$ の $x ≧ 0$ における最大値を $M_{n}$ とする．このとき， $n = 1 \sum \infty M_{n}$ を求めよ．

出典：京都大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

(1) 差を微分し、 $e^{x} ≧ 1 + x$ を使う。(2) 各 $f_{n}$ を微分して最大点を求め、得られた等比型級数を計算する。

g (x) = e^{x} - 1 - \frac{1}{2} x^{2}

とおく。 $x ≧ 0$ では基本不等式 $e^{x} ≧ 1 + x$ より

g^{'} (x) = e^{x} - x ≧ 1 > 0.

また $g (0) = 0$ なので

g (x) ≧ 0.

従って

e^{x} ≧ 1 + \frac{1}{2} x^{2}

である。

f_{n} (x) = n^{2} (x - 1) e^{- n x}

を微分すると

f_{n}^{'} (x) = n^{2} e^{- n x} (n + 1 - n x) .

従って $x ≧ 0$ において $f_{n}$ は

x = 1 + \frac{1}{n}

で最大となる。その最大値は

M_{n} = n^{2} \cdot \frac{1}{n} \cdot e^{- (n + 1)} = n e^{- (n + 1)} .

よって、 $r = e^{- 1}$ とおけば

n = 1 \sum \infty M_{n} = e^{- 1} n = 1 \sum \infty n r^{n} .

有限等比数列を微分して極限をとることにより

n = 1 \sum \infty n r^{n} = \frac{r}{( 1 - r ) ^{2}} (0 < r < 1)

だから

n = 1 \sum \infty M_{n} = \frac{e ^{- 2}}{( 1 - e ^{- 1} ) ^{2}} = \frac{1}{( e - 1 ) ^{2}} .