京都大学 2000年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の点で $x$ 座標、 $y$ 座標がともに整数である点を格子点という． $a$ ， $k$ は整数で $a ≧ 2$ とし，直線 $L : a x + (a^{2} + 1) y = k$ を考える．

(1) 直線 $L$ 上の格子点を1つ求めよ．

(2) $k = a (a^{2} + 1)$ のとき， $x > 0$ ， $y > 0$ の領域に直線 $L$ 上の格子点は存在しないことを示せ．

(3) $k > a (a^{2} + 1)$ ならば， $x > 0$ ， $y > 0$ の領域に直線 $L$ 上の格子点が存在することを示せ．

出典：京都大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

係数 $a$ と $a^{2} + 1$ が互いに素であることから一つの整数解を作り、全整数解を一つの整数パラメータで表す。正の解の存在は、そのパラメータが入る開区間の長さで判定する。

a (- ak) + (a^{2} + 1) k = k

だから

(x, y) = (- ak, k)

は直線 $L$ 上の格子点である。

また $g cd (a, a^{2} + 1) = 1$ なので、直線 $L$ 上の格子点はすべて

x = - ak + (a^{2} + 1) t, y = k - a t (t は整数)

と表される。

$k = a (a^{2} + 1)$ のとき

x = (a^{2} + 1) (t - a^{2}), y = a (a^{2} + 1 - t) .

従って $x > 0$ なら $t > a^{2}$ 、 $y > 0$ なら $t < a^{2} + 1$ でなければならない。この二つを同時に満たす整数 $t$ は存在しない。よって正の領域に格子点は存在しない。

一般形において $x > 0, y > 0$ となる条件は

\frac{ak}{a ^{2} + 1} < t < \frac{k}{a}

である。この開区間の長さは

\frac{k}{a} - \frac{ak}{a ^{2} + 1} = \frac{k}{a ( a ^{2} + 1 )} .

仮定 $k > a (a^{2} + 1)$ より、この長さは1より大きい。長さが1より大きい開区間には必ず整数が一つ以上含まれるから、その整数を $t$ に選べば $x > 0, y > 0$ を満たす格子点が得られる。