京都大学 2000年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

0と異なる複素数 $α$ に対して数列 ${a_{n}}$ を $a_{n} = α^{n} + α^{- n}$ で定める．すべての自然数 $n$ について $∣ a_{n} ∣ < 2$ が成立しているとする．このとき

(1) $∣ α ∣ = 1$ が成立することを示せ．

(2) $∣ a_{m} ∣ > 1$ となる自然数 $m$ が存在することを示せ．

出典：京都大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

(1) $∣ α ∣ \neq = 1$ なら $α^{n}$ と $α^{- n}$ の一方が指数的に大きくなることを逆三角不等式で示す。(2) 単位円上の表示に直し、 $m = 1, 2, 3$ の場合分けを行う。

$r = ∣ α ∣ > 0$ とおく。もし $r > 1$ なら、逆三角不等式より

∣ a_{n} ∣ = ∣ α^{n} + α^{- n} ∣ ≧ r^{n} - r^{- n} .

右辺は $n$ を大きくすると2を超えるので、すべての自然数 $n$ で $∣ a_{n} ∣ < 2$ という仮定に反する。

もし $0 < r < 1$ なら同様に

∣ a_{n} ∣ ≧ r^{- n} - r^{n}

が大きな $n$ で2を超え、やはり矛盾する。従って

∣ α ∣ = 1

である。

$α = cos θ + i sin θ$ とおくと

a_{m} = 2 cos m θ .

従って $∣ cos m θ ∣ > 1/2$ となる自然数 $m$ を見つければよい。

$∣ cos θ ∣ > 1/2$ なら $m = 1$ でよい。そうでなければ、余弦の絶対値の周期性から

\frac{π}{3} ≦ θ ≦ \frac{2 π}{3}

としてよい。この範囲では $∣ cos 2 θ ∣ ≧ 1/2$ であり、端点以外では不等号は厳密だから $m = 2$ でよい。端点 $θ = π /3, 2 π /3$ では

∣ cos 3 θ ∣ = 1

なので $m = 3$ でよい。

以上より常に

∣ a_{m} ∣ = 2∣ cos m θ ∣ > 1

となる自然数 $m$ が存在する。