京都大学 2000年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$α$ ， $β$ ， $γ$ は互いに相異なる複素数とする．

(1) 複素数平面上で $\frac{z - β}{z - α}$ の虚数部分が正となる $z$ の存在する範囲を図示せよ．

(2) 複素数 $z$ が $(z - α) (z - β) + (z - β) (z - γ) + (z - γ) (z - α) = 0$ を満たしているとき， $z$ は $α$ ， $β$ ， $γ$ を頂点とする三角形の内部に存在することを示せ．ただし， $α$ ， $β$ ， $γ$ は同一直線上にはないものとする．

出典：京都大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1) 比の偏角と符号付き面積から、境界が直線 $α β$ である半平面を特定する。(2) $p = (z - β) / (z - α)$ と正規化し、方程式から各辺に対して $z$ と反対頂点が同じ側にあることを循環的に示す。

解答

(1)

$α$ から $β$ へ向かう有向直線を考える。

Im \frac{z - β}{z - α} = \frac{Im {( z - β ) ( z - α ) }}{∣ z - α ∣ ^{2}} .

分母は正であり、分子の符号は点 $z$ が有向直線 $α β$ のどちら側にあるかを表す。例えば $α = 0, β = 1$ なら、この虚部は $z = x + i y$ に対して $y / (x^{2} + y^{2})$ である。

従って求める範囲は、直線 $α β$ を境界とし、有向直線 $α \to β$ の左側にある開半平面である。境界線上は含まず、 $z = α$ では式が定義されない。

(2)

p = \frac{z - β}{z - α}, q = \frac{z - γ}{z - α}

とおく。与えられた方程式を $(z - α)^{2}$ で割ると

p + q + pq = 0

となるから

q = - \frac{p}{1 + p} .

一方

\frac{γ - β}{γ - α} = \frac{p - q}{1 - q} = \frac{p ( p + 2 )}{2 p + 1} .

ここで

\frac{p ( p + 2 )}{2 p + 1} = \frac{1}{2} p + \frac{3}{4} - \frac{3}{4 ( 2 p + 1 )}

なので

Im \frac{γ - β}{γ - α} = Im p (\frac{1}{2} + \frac{3}{2∣2 p + 1 ∣ ^{2}}) .

従って

Im \frac{z - β}{z - α} と Im \frac{γ - β}{γ - α}

は同符号である。すなわち、点 $z$ と点 $γ$ は直線 $α β$ の同じ側にある。

もしこの虚部が0なら $p, q$ はともに実数となり、 $α, β, γ$ が同一直線上に並ぶので仮定に反する。従って同じ側という関係は厳密である。同様の議論を $(α, β, γ)$ について循環的に行うと、 $z$ は三角形の各辺に対して反対頂点と同じ側にある。従って $z$ は三角形 $α β γ$ の内部に存在する。

京都大学 2000年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 2000年度
後期・理系数学後期第1問