京都大学 1999年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

(1) $f (x)$ は $a ≦ x ≦ b$ で連続な関数とする．このとき，

\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x = f (c) a ≦ c ≦ b

となる $c$ が存在することを示せ．

(2) $y = sin x$ の $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ の部分と $y = 1$ および $y$ 軸が囲む図形を， $y$ 軸のまわりに回転して得られる立体を考える．この立体を $y$ 軸に垂直な $n - 1$ 個の平面によって各部分の体積が等しくなるように $n$ 個に分割するとき， $y = 1$ に最も近い平面の $y$ 座標を $y_{n}$ とする．このとき， $n \to \infty lim n (1 - y_{n})$ を求めよ．

出典：京都大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

(1) 連続関数の最小値・最大値と中間値の定理を用いる。(2) 高さ $y$ の断面積を $π (arcsin y)^{2}$ とし、最上層の体積に(1)を適用して極限を求める。

解答

(1)

$f$ の区間 $[a, b]$ における最小値を $m$ 、最大値を $M$ とする。すると

m (b - a) ≦ \int_{a}^{b} f (x) d x ≦ M (b - a),

従って

m ≦ \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x ≦ M .

$f$ は連続であり、最小値と最大値の間のすべての値をとるから、中間値の定理により

f (c) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

となる $c \in [a, b]$ が存在する。

(2)

高さ $y$ における回転体の断面は、半径 $arcsin y$ の円である。従って断面積は

A (y) = π (arcsin y)^{2}

であり、全体の体積は

V = π \int_{0}^{1} (arcsin y)^{2} d y .

$y = sin t$ と置いて部分積分すると

\int_{0}^{1} (arcsin y)^{2} d y = \int_{0}^{π /2} t^{2} cos t d t = \frac{π ^{2}}{4} - 2.

よって

V = π (\frac{π ^{2}}{4} - 2) .

最上部の一層の体積は $V / n$ だから

\frac{V}{n} = \int_{y_{n}}^{1} A (y) d y .

右辺が0に近づくので $y_{n} \to 1$ である。(1)を区間 $[y_{n}, 1]$ の連続関数 $A$ に適用すると、ある $c_{n} \in [y_{n}, 1]$ が存在して

\frac{V}{n} = (1 - y_{n}) A (c_{n}) .

$c_{n} \to 1$ より

A (c_{n}) \to π (\frac{π}{2})^{2} = \frac{π ^{3}}{4} .

従って

n \to \infty lim n (1 - y_{n}) = \frac{V}{π ^{3} /4} = 1 - \frac{8}{π ^{2}} .

京都大学 1999年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1999年度
後期・理系数学後期第6問