京都大学 1999年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$△ A B C$ は鋭角三角形とする．このとき，各面すべてが $△ A B C$ と合同な四面体が存在することを示せ．

出典：京都大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

鋭角三角形の三辺を $a, b, c$ とし、向かい合う辺がそれぞれ等しい四面体を座標で構成する。必要な三つの座標平方が正になることを鋭角条件から保証する。

三角形 $A B C$ の辺長を

B C = a, C A = b, A B = c

とする。鋭角三角形なので余弦定理より

b^{2} + c^{2} - a^{2} > 0, c^{2} + a^{2} - b^{2} > 0, a^{2} + b^{2} - c^{2} > 0.

そこで正数 $x, y, z$ を

x^{2} = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{8}, y^{2} = \frac{c ^{2} + a ^{2} - b ^{2}}{8}, z^{2} = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{8}

で定める。

空間内に4点

P_{1} P_{3} = (x, y, z), = (- x, y, - z), P_{2} P_{4} = (x, - y, - z), = (- x, - y, z)

をとる。例えば

∣ P_{1} P_{2} ∣ = 2 y^{2} + z^{2} = a,

同様に

∣ P_{1} P_{3} ∣ = b, ∣ P_{1} P_{4} ∣ = c .

さらに向かい合う辺も

∣ P_{3} P_{4} ∣ = a, ∣ P_{2} P_{4} ∣ = b, ∣ P_{2} P_{3} ∣ = c

となる。

従って四面体 $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ の各面は、いずれも三辺の長さが $a, b, c$ の三角形である。三辺相等により各面は $△ A B C$ と合同である。 $x, y, z > 0$ なので4点は同一平面上になく、確かに四面体をなす。