京都大学 1999年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$α$ を正の定数として，数列 $a_{n}$ ， $b_{n}$ $(n ≧ 1)$ を次の式で定める．

$2 a_{n + 1} = α (3 a_{n}^{2} + 2 a_{n} b_{n} - b_{n}^{2} - a_{n} + b_{n})$

$2 b_{n + 1} = α (- a_{n}^{2} - 2 a_{n} b_{n} - b_{n}^{2} - a_{n} + b_{n})$

$a_{1} = b_{1} = 1$

(1) $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $a_{3}$ ， $b_{3}$ ， $a_{4}$ ， $b_{4}$ を求めよ．

(2) $\frac{a _{2 n + 1}}{a _{2 n}}$ を求めよ．

出典：京都大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

和 $u_{n} = a_{n} + b_{n}$ と差 $v_{n} = a_{n} - b_{n}$ を導入する。漸化式から偶数番では $u = 0$ 、奇数番では $v = 0$ が交互に成り立つことを示し、値と比を求める。

u_{n} = a_{n} + b_{n}, v_{n} = a_{n} - b_{n}

とおく。二つの漸化式を加減すると

u_{n + 1} = α v_{n} (u_{n} - 1), v_{n + 1} = α u_{n} (u_{n} + v_{n})

を得る。初項は

u_{1} = 2, v_{1} = 0

である。

従って

u_{2} = 0, v_{2} = 4 α,

なので

a_{2} = 2 α, b_{2} = - 2 α .

次に

u_{3} = - 4 α^{2}, v_{3} = 0,

従って

a_{3} = b_{3} = - 2 α^{2} .

さらに

u_{4} = 0, v_{4} = 16 α^{5},

従って

a_{4} = 8 α^{5}, b_{4} = - 8 α^{5} .

一般に $u_{2 n} = 0$ なら $v_{2 n + 1} = 0$ 、また $v_{2 n + 1} = 0$ なら $u_{2 n + 2} = 0$ である。初期値から数学的帰納法により

u_{2 n} = 0, v_{2 n + 1} = 0

がすべての $n ≧ 1$ で成り立つ。特に

b_{2 n} = - a_{2 n} .

これを $a_{n + 1}$ の漸化式に代入すると

2 a_{2 n + 1} = α {3 a_{2 n}^{2} - 2 a_{2 n}^{2} - a_{2 n}^{2} - a_{2 n} - a_{2 n}} = - 2 α a_{2 n} .

従って

\frac{a _{2 n + 1}}{a _{2 n}} = - α .

$α > 0$ で初期値から各 $a_{2 n} \neq = 0$ なので、この比は常に定義される。