京都大学 1999年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

座標平面上で原点を通る直線と $y = x ∣ x + 2∣$ のグラフが相異なる3点で交わっている．このグラフとこの直線によって囲まれる図形で，この直線より下側にあるものの面積を $S_{1}$ ，上側にあるものの面積を $S_{2}$ とする． $S_{1} : S_{2} = 9 : 8$ となるとき，この直線の傾きを求めよ．

出典：京都大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

直線を $y = m x$ とし、絶対値の折れ点 $x = - 2$ の両側で交点を求める。直線の上下にある二領域の面積を積分し、 $0 < m < 2$ と $m > 2$ を分けて比を解く。

解答

直線を $y = m x$ とする。曲線は

y = {- x^{2} - 2 x x^{2} + 2 x (x < - 2), (x ≧ - 2)

である。原点以外の交点の $x$ 座標は

- (m + 2), m - 2

である。相異なる3点で交わるためには

m > 0, m \neq = 2

が必要である。

曲線と直線の差を $D (x)$ とする。直線より下側にある領域の面積は、原点と $x = m - 2$ の間にでき、

S_{1} = \frac{∣ m - 2 ∣ ^{3}}{6}

である。

まず $0 < m < 2$ とする。このとき直線より上側の領域は

x = - (m + 2) から x = m - 2

までである。折れ点 $- 2$ で分けて積分すると

S_{2} = 2 m^{2} .

従って

\frac{S _{1}}{S _{2}} = \frac{( 2 - m ) ^{3}}{12 m ^{2}} .

条件 $S_{1} : S_{2} = 9 : 8$ より

2 (2 - m)^{3} = 27 m^{2} .

左辺と右辺の比 $(2 - m)^{3} / m^{2}$ は $0 < m < 2$ で単調減少するので解は高々一つであり、代入により

m = \frac{1}{2}

が解である。

次に $m > 2$ とする。このとき

S_{2} = \int_{- (m + 2)}^{0} D (x) d x = \frac{( m + 2 ) ^{3} - 16}{6} .

しかし

{(m + 2)^{3} - 16} - (m - 2)^{3} = 12 m^{2} > 0

だから $S_{1} / S_{2} < 1$ であり、 $9/8$ にはならない。

従って求める傾きは

\frac{1}{2}

である。

京都大学 1999年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

京都大学 1999年度
後期・理系数学後期第1問