京都大学 1999年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$α$ ， $β$ ， $γ$ は $α > 0$ ， $β > 0$ ， $γ > 0$ ， $α + β + γ = π$ を満たすものとする．このとき， $sin α sin β sin γ$ の最大値を求めよ．

出典：京都大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

$sin α + sin β$ を和積公式で評価し、まず $α = β$ のときに最大となることを示す。残る一変数を微分して最大化する。

$γ$ を固定すると $α + β = π - γ$ である。和積公式より

sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2} ≦ 2 cos \frac{γ}{2},

等号は $α = β$ のときに成り立つ。さらに相加相乗平均より

sin α sin β ≦ (\frac{sin α + sin β}{2})^{2} ≦ cos^{2} \frac{γ}{2} .

従って

sin α sin β sin γ ≦ cos^{2} \frac{γ}{2} sin γ .

$u = γ /2$ とおくと右辺は

2 sin u cos^{3} u .

これを微分すると

2 cos^{2} u (1 - 4 sin^{2} u)

となるから、 $0 < u < π /2$ で最大となるのは

sin u = \frac{1}{2}, u = \frac{π}{6},

すなわち $γ = π /3$ のときである。このとき等号条件から

α = β = \frac{π}{3} .

従って最大値は

(sin \frac{π}{3})^{3} = \frac{3 3}{8} .