京都大学 1999年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ を整数， $u$ ， $v$ を有理数とする． $u + v 3$ が $x^{2} + a x + b = 0$ の解であるならば， $u$ と $v$ は共に整数であることを示せ．ただし $3$ が無理数であることは使ってよい．

出典：京都大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方程式へ代入し、 $3$ の無理性から有理部分と無理部分を分ける。まず $2 u, 2 v$ が整数であることを示し、積の整数性を4を法として調べて偶数性を確定する。

方程式へ $u + v 3$ を代入すると

u^{2} + 3 v^{2} + a u + b + v (2 u + a) 3 = 0.

$3$ は無理数で、各係数は有理数だから

u^{2} + 3 v^{2} + a u + b = 0, v (2 u + a) = 0

である。

まず $v = 0$ の場合、 $u$ は整数係数のモニック多項式の有理根なので整数であり、結論が成り立つ。

以下 $v \neq = 0$ とする。このとき

2 u = - a

なので $2 u$ は整数である。また共役数 $u - v 3$ ももう一つの解となり、解の積から

u^{2} - 3 v^{2} = b .

$m = 2 u$ とおけば

3 (2 v)^{2} = m^{2} - 4 b

は整数である。 $2 v = r / s$ を互いに素な整数 $r, s > 0$ で表すと

3 r^{2} = s^{2} (m^{2} - 4 b) .

従って $s^{2}$ は3を割るので $s = 1$ であり、 $2 v$ も整数である。

そこで

m = 2 u, n = 2 v

を整数とすると

m^{2} - 3 n^{2} = 4 b

である。平方数を4で見れば0または1である。もし $n$ が奇数なら左辺は $m^{2} - 3$ となり0にはならないので矛盾する。従って $n$ は偶数であり、上式から $m^{2}$ も4の倍数、従って $m$ も偶数である。

よって

u = \frac{m}{2}, v = \frac{n}{2}

はともに整数である。