京都大学 1998年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

自然数 $n$ に対し

I_{n} = \int_{0}^{π /4} cos^{n} 2 θ sin^{3} θ d θ

とする．

(1) $I_{2}$ を求めよ．

(2) 極方程式 $r = sin 2 θ$ $(0 ≦ θ ≦ π /2)$ で表される曲線を直線 $y = x$ の周りに回転して得られる曲面が囲む立体の体積を $V$ とするとき， $V = 3 π I_{3} + 2 π I_{2}$ と表されることを示せ．

出典：京都大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

(1) $u = cos θ$ で多項式積分にする。(2) 曲線と直線 $y = x$ に挟まれた半分の領域を回転し、微小面積の回転でできる殻を積分する。最後に同じ置換で得た $I_{2}, I_{3}$ の式と照合する。

$u = cos θ$ とおくと

sin^{3} θ d θ = (1 - u^{2}) sin θ d θ = - (1 - u^{2}) d u, cos 2 θ = 2 u^{2} - 1.

従って

I_{2} = \int_{1/ 2}^{1} (2 u^{2} - 1)^{2} (1 - u^{2}) d u .

展開して積分すると

I_{2} = [- \frac{4}{7} u^{7} + \frac{8}{5} u^{5} - \frac{5}{3} u^{3} + u]_{1/ 2}^{1} = \frac{38 - 26 2}{105} .

曲線は直線 $y = x$ について対称である。 $0 ≦ θ ≦ π /4$ 側の領域だけを直線 $y = x$ の周りに1回転すれば、求める立体を重複なく得る。極座標の微小面積は $ρ d ρ d θ$ で、点 $(ρ, θ)$ から回転軸までの距離は

ρ sin (\frac{π}{4} - θ)

である。従って円筒殻の考え方により

V = 2 π \int_{0}^{π /4} \int_{0}^{s i n 2 θ} ρ sin (\frac{π}{4} - θ) ρ d ρ d θ = \frac{2 π}{3} \int_{0}^{π /4} sin^{3} 2 θ sin (\frac{π}{4} - θ) d θ .

$ϕ = \frac{π}{4} - θ$ とおくと $sin 2 θ = cos 2 ϕ$ だから

V = \frac{2 π}{3} J, J = \int_{0}^{π /4} cos^{3} 2 ϕ sin ϕ d ϕ .

ここで(1)と同じく $u = cos ϕ$ とおいて展開すると

I_{2} = \frac{38}{105} - \frac{52}{105 2},

I_{3} = - \frac{94}{315} + \frac{136}{315 2}, J = - \frac{9}{35} + \frac{16}{35 2} .

これらから

J = \frac{9}{2} I_{3} + 3 I_{2}

である。従って

V = \frac{2 π}{3} J = \frac{2 π}{3} (\frac{9}{2} I_{3} + 3 I_{2}) = 3 π I_{3} + 2 π I_{2} .