京都大学 1998年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

関数 $f_{n} (x)$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ は， $f_{1} (x) = 4 x^{2} + 1$ ，

f_{n} (x) = \int_{0}^{1} (3 x^{2} t f_{n - 1}^{'} (t) + 3 f_{n - 1} (t)) d t (n = 2, 3, \dots)

で帰納的に定義されている．この $f_{n} (x)$ を求めよ．

出典：京都大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

各 $f_{n}$ が $A_{n} x^{2} + B_{n}$ の形であることを帰納的に示し、積分から係数漸化式を作って解く。

$f_{n - 1} (x) = A_{n - 1} x^{2} + B_{n - 1}$ とすると

\int_{0}^{1} t f_{n - 1}^{'} (t) d t = \frac{2 A _{n - 1}}{3}, \int_{0}^{1} f_{n - 1} (t) d t = \frac{A _{n - 1}}{3} + B_{n - 1} .

従って

f_{n} (x) = 2 A_{n - 1} x^{2} + A_{n - 1} + 3 B_{n - 1} .

初項も同じ形なので帰納的に

A_{n} = 2 A_{n - 1}, B_{n} = A_{n - 1} + 3 B_{n - 1}, A_{1} = 4, B_{1} = 1.

よって $A_{n} = 2^{n + 1}$ であり、

B_{n} = 2^{n} + 3 B_{n - 1} .

$C_{n} = B_{n} + 2^{n + 1}$ とおけば $C_{n} = 3 C_{n - 1}$ 、 $C_{1} = 5$ だから

B_{n} = 5 \cdot 3^{n - 1} - 2^{n + 1} .

従って

f_{n} (x) = 2^{n + 1} x^{2} + 5 \cdot 3^{n - 1} - 2^{n + 1} .