京都大学 1998年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$0 < a < π$ とする． $n = 0, 1, 2, \dots$ に対し， $nπ < x < (n + 1) π$ の範囲に $sin (x + a) = x sin x$ を満たす唯一の $x$ を $x_{n}$ とする．

(1) $n \to \infty lim (x_{n} - nπ)$ を求めよ．

(2) $n \to \infty lim n (x_{n} - nπ)$ を求めよ．

出典：京都大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

$δ_{n} = x_{n} - nπ$ とおき、周期性で方程式を $sin (δ_{n} + a) = x_{n} sin δ_{n}$ に直す。 $tan δ_{n}$ の式から $δ_{n} \to 0$ を示し、 $tan t / t \to 1$ を用いて2次の極限を求める。

δ_{n} = x_{n} - nπ (0 < δ_{n} < π)

とおく。元の方程式から

sin (δ_{n} + a) = x_{n} sin δ_{n} .

加法定理を用いると

sin a cos δ_{n} + cos a sin δ_{n} = x_{n} sin δ_{n},

従って

tan δ_{n} = \frac{sin a}{x _{n} - cos a} .

右辺は $n$ が十分大きいとき正であるから、 $0 < δ_{n} < π$ と合わせて $0 < δ_{n} < π /2$ である。また $x_{n} > nπ \to \infty$ なので右辺は0に近づく。従って

n \to \infty lim δ_{n} = 0.

すなわち

n \to \infty lim (x_{n} - nπ) = 0.

上の式から

(x_{n} - cos a) tan δ_{n} = sin a .

従って

n δ_{n} = \frac{n}{x _{n}} \cdot \frac{x _{n}}{x _{n} - cos a} \cdot \frac{δ _{n}}{tan δ _{n}} \cdot sin a .

(1)より $x_{n} = nπ + δ_{n}$ だから

\frac{n}{x _{n}} \to \frac{1}{π}, \frac{x _{n}}{x _{n} - cos a} \to 1, \frac{δ _{n}}{tan δ _{n}} \to 1.

よって

n \to \infty lim n (x_{n} - nπ) = \frac{sin a}{π} .