京都大学 1998年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$A_{1}, A_{2}, A_{3}$ は $x y$ 平面上の同一直線上にない3点とする．一次式 $f_{i} (x, y) = a_{i} x + b_{i} y + c_{i}$ $(i = 1, 2, 3)$ は，方程式 $f_{1} = 0, f_{2} = 0, f_{3} = 0$ によりそれぞれ直線 $A_{2} A_{3}, A_{3} A_{1}, A_{1} A_{2}$ を表す．実数 $u, v$ をうまくとると

u f_{1} f_{2} + v f_{2} f_{3} + f_{3} f_{1} = 0

が3点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ を通る円を表すようにできることを示せ．

出典：京都大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

各 $f_{i}$ を頂点 $A_{i}$ での値で割って、和が1となる重心座標 $λ_{i}$ を作る。3頂点を通る円の方程式を、辺長の二乗を係数とする $λ_{i} λ_{j}$ の式で表し、 $f_{3} f_{1}$ の係数を1に規格化する。

解答

$f_{i}$ は $A_{i}$ を通らない直線を表すので

d_{i} = f_{i} (A_{i}) \neq = 0

である。そこで

λ_{i} (X) = \frac{f _{i} ( X )}{d _{i}} (i = 1, 2, 3)

とおく。 $λ_{1} + λ_{2} + λ_{3}$ は一次式で、各 $A_{j}$ で1となる。3点は同一直線上にないので

λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} = 1

が平面全体で成り立つ。また点 $X$ の位置ベクトルは

X = λ_{1} A_{1} + λ_{2} A_{2} + λ_{3} A_{3}

と表される。

辺長を

a = ∣ A_{2} A_{3} ∣, b = ∣ A_{3} A_{1} ∣, c = ∣ A_{1} A_{2} ∣

とする。位置ベクトルの内積を展開すると

∣ X ∣^{2} - i = 1 \sum 3 λ_{i} ∣ A_{i} ∣^{2} = - (c^{2} λ_{1} λ_{2} + a^{2} λ_{2} λ_{3} + b^{2} λ_{3} λ_{1}) .

左辺は $∣ X ∣^{2}$ から $x, y$ の一次式を引いた形であり、 $x^{2} + y^{2} + ℓ x + m y + n = 0$ という円の方程式である。また $X = A_{i}$ を代入すると左辺は0になるから、この円は $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ を通る。従ってその円は

c^{2} λ_{1} λ_{2} + a^{2} λ_{2} λ_{3} + b^{2} λ_{3} λ_{1} = 0

で表される。

$λ_{i} = f_{i} / d_{i}$ を代入し、全体を $d_{3} d_{1} / b^{2}$ 倍すると

\frac{c ^{2} d _{3}}{b ^{2} d _{2}} f_{1} f_{2} + \frac{a ^{2} d _{1}}{b ^{2} d _{2}} f_{2} f_{3} + f_{3} f_{1} = 0.

従って

u = \frac{c ^{2} d _{3}}{b ^{2} d _{2}}, v = \frac{a ^{2} d _{1}}{b ^{2} d _{2}}

と選べばよい。

京都大学 1998年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

京都大学 1998年度
後期・理系数学後期第3問