京都大学 1998年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

2次の正方行列 $X, Y$ は $X Y = Y X$ のとき交換可能であるという．2次の正方行列 $A, B$ は交換可能ではないが， $A$ と $A B$ は交換可能であり， $A$ と $B A$ も交換可能であるとする．

(1) $A = (a c b d)$ とするとき， $a d - b c = 0$ を示せ．

(2) $O$ を零行列とするとき， $A^{2} = O$ であることを示せ．

出典：京都大学 1998年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

$C = A B - B A$ とおくと $C \neq = O$ である。2つの交換条件から $A C = C A = O$ を得る。(1) は $A$ が可逆だと矛盾することを使う。(2) は2次行列の恒等式 $A^{2} - (tr A) A + (det A) E = O$ を用い、 $tr A \neq = 0$ も矛盾することを示す。

解答

(1)

C = A B - B A

とおく。 $A, B$ は交換可能でないから $C \neq = O$ である。一方、 $A$ と $A B$ が交換可能であることから

A (A B) = (A B) A, A^{2} B = A B A,

従って

A C = A (A B - B A) = O .

同様に、 $A$ と $B A$ が交換可能であることから

A (B A) = (B A) A, A B A = B A^{2},

従って

C A = (A B - B A) A = O .

もし $det A = a d - b c \neq = 0$ ならば $A$ は逆行列を持つ。 $A C = O$ の左から $A^{- 1}$ を掛けると $C = O$ となり、矛盾する。よって

a d - b c = 0.

(2)

2次行列について直接成分計算すれば

A^{2} - (a + d) A + (a d - b c) E = O

が成り立つ。(1)より $det A = a d - b c = 0$ だから

A^{2} = (a + d) A .

$t = a + d$ とおく。 $t \neq = 0$ と仮定し、

P = \frac{1}{t} A

とおけば $P^{2} = P$ である。また $A C = C A = O$ より $P C = C P = O$ である。

一方、 $C = A B - B A = t (P B - B P)$ だから

O = P C = t (P B - P B P), O = C P = t (P B P - B P) .

$t \neq = 0$ より $P B = P B P = B P$ となり、 $C = t (P B - B P) = O$ となる。これは $C \neq = O$ に矛盾する。従って $t = 0$ であり、

A^{2} = t A = O .

京都大学 1998年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1998年度
後期・理系数学後期第1問