京都大学 1997年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

曲線 $C : x = e^{- t} cos t, y = e^{- t} sin t$ $(0 ≦ t ≦ π /2)$ について、(1) 長さ $L$ 、(2) $C$ と両座標軸で囲まれる面積 $S$ を求めよ．

出典：京都大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

(1) 両座標を微分して速度を求める。(2) 曲線と座標軸からなる閉曲線の面積を、媒介変数による面積公式で計算する。

解答

(1)

\frac{d x}{d t} = - e^{- t} (cos t + sin t), \frac{d y}{d t} = e^{- t} (cos t - sin t) .

従って速度は

(\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} = 2 e^{- t} .

よって

L = \int_{0}^{π /2} 2 e^{- t} d t = 2 (1 - e^{- π /2}) .

(2)

曲線は $(1, 0)$ から $(0, e^{- π /2})$ へ進む。座標軸上の部分は面積積分への寄与が0なので

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{π /2} (x \frac{d y}{d t} - y \frac{d x}{d t}) d t .

被積分関数は

e^{- 2 t} {cos t (cos t - sin t) + sin t (cos t + sin t)} = e^{- 2 t}

である。従って

S = \frac{1}{2} \int_{0}^{π /2} e^{- 2 t} d t = \frac{1 - e ^{- π}}{4} .

京都大学 1997年度後期・理系数学 後期 第6問

問題