京都大学 1997年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

正整数列 $a_{1}, \dots, a_{n}$ が $1 ≦ a_{k} ≦ 2 n$ を満たし、部分和 $s_{j} = \sum_{k = 1}^{j} a_{k}$ がすべて平方数である．(1) $s_{n} = n^{2}$ を示せ．(2) $a_{k}$ を求めよ．

出典：京都大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

$s_{j} = m_{j}^{2}$ と置く。部分和は狭義増加なので $m_{j}$ も狭義増加する。最後の差 $a_{n}$ の上限から $m_{n}$ を挟み、その後すべての $m_{j}$ を決める。

$s_{j} = m_{j}^{2}$ とおく。 $s_{j}$ は正で狭義増加するから、 $m_{j}$ は正整数で

1 ≦ m_{1} < m_{2} < \dots < m_{n} .

従って $m_{n} ≧ n$ である。

一方 $m_{n - 1} ≦ m_{n} - 1$ だから

a_{n} = m_{n}^{2} - m_{n - 1}^{2} ≧ m_{n}^{2} - (m_{n} - 1)^{2} = 2 m_{n} - 1.

仮定 $a_{n} ≦ 2 n$ より

2 m_{n} - 1 ≦ 2 n,

従って整数 $m_{n}$ は $m_{n} ≦ n$ である。以上から $m_{n} = n$ 、すなわち

s_{n} = n^{2} .

$n$ 個の狭義増加する正整数

m_{1} < m_{2} < \dots < m_{n} = n

は

m_{k} = k (1 ≦ k ≦ n)

でなければならない。 $s_{0} = 0$ とおけば

a_{k} = s_{k} - s_{k - 1} = k^{2} - (k - 1)^{2} = 2 k - 1.

実際、 $1 ≦ 2 k - 1 ≦ 2 n - 1 < 2 n$ であり、部分和は $k^{2}$ となるので条件を満たす。