京都大学 1997年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$C_{1} : y = x^{2}$ と $C : y = a x^{2}$ $(a \neq = 1)$ を考え、 $C$ を $(p, q)$ だけ平行移動した $C_{p, q}$ が $C_{1}$ と2点で交わり、一方が $C_{p, q}$ の頂点、他方では両接線が直交するような $p, q$ が存在するための $a$ の範囲を求めよ．

出典：京都大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

$C_{p, q} : y = a (x - p)^{2} + q$ と置く。頂点が $C_{1}$ 上にある条件で $q$ を消し、もう1つの交点と2本の傾きを $p, a$ で表す。直交条件から $p^{2} > 0$ となる $a$ の範囲を判定する。

解答

平行移動後の放物線は

C_{p, q} : y = a (x - p)^{2} + q

であり、その頂点は $(p, q)$ である。頂点が $C_{1}$ 上にあるから

q = p^{2} .

交点の $x$ 座標は

x^{2} = a (x - p)^{2} + p^{2}

を満たす。整理して因数分解すると

(x - p) {(1 - a) x + (a + 1) p} = 0.

一方の交点は $x = p$ であり、他方を $r$ とすると

r = \frac{a + 1}{a - 1} p .

2点が異なるため $p \neq = 0$ である。

$x = r$ における $C_{1}$ の接線の傾きは $2 r$ 、 $C_{p, q}$ の接線の傾きは $2 a (r - p)$ である。直交条件は

4 a r (r - p) = - 1.

ここで

r - p = \frac{2 p}{a - 1}

だから

\frac{8 a ( a + 1 ) p ^{2}}{( a - 1 ) ^{2}} = - 1, p^{2} = - \frac{( a - 1 ) ^{2}}{8 a ( a + 1 )} .

この右辺が正となる必要十分条件は

a (a + 1) < 0,

すなわち

- 1 < a < 0.

逆にこの範囲なら右辺は正なので、その平方根のいずれかを $p$ とし $q = p^{2}$ とおけば、2交点は相異なり、他方で接線は直交する。従って求める範囲は $- 1 < a < 0$ である。

京都大学 1997年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

京都大学 1997年度
後期・理系数学後期第1問