京都大学 1997年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

青3枚、赤2枚、黄1枚から1枚を引き、同色カードを1枚加えて戻す試行を繰り返す。 $n$ 回後の青カード枚数の期待値 $E (n)$ を求めよ．

出典：京都大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

$n$ 回後の青枚数を確率変数 $B_{n}$ とする。現在の枚数を条件に、次回青が増える確率を求めて期待値の漸化式を作る。

$n$ 回の試行後の青カード枚数を $B_{n}$ とする。全カードは $n + 6$ 枚である。 $B_{n} = b$ であるとき、次の試行で青を引く確率は $b / (n + 6)$ だから

E (B_{n + 1} ∣ B_{n} = b) = b + \frac{b}{n + 6} = \frac{n + 7}{n + 6} b .

両辺の期待値を取ると

E (n + 1) = \frac{n + 7}{n + 6} E (n) .

初めは青が3枚なので $E (0) = 3$ である。従って

E (n) = 3 \cdot \frac{7}{6} \cdot \frac{8}{7} \dots \frac{n + 6}{n + 5} = 3 \cdot \frac{n + 6}{6} = \frac{n + 6}{2} .

よって求める期待値は

E (n) = \frac{n + 6}{2} .