京都大学 1997年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

単位球面上の4点 $A, B, C, D$ が $O A + O B + O C + O D = 0$ を満たす．(1) $A B = C D$ を示せ．(2) $B^{'}, D^{'}$ を $B, D$ の対蹠点とする。 $A, B^{'}, C, D^{'}$ が相異なるなら、この順に長方形の頂点となることを示せ．

出典：京都大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

位置ベクトルを置く。(1) は和の関係から2本ずつの和の長さを比較して内積を一致させる。(2) は対角線の中点一致で平行四辺形を示し、対角線長が等しいことから長方形と結論する。

解答

位置ベクトルを

a = O A, b = O B, c = O C, d = O D

とおく。すべて長さ1で

a + b + c + d = 0 .

(1)

a + b = - (c + d)

だから両辺の長さの二乗を比較して

2 + 2 a \cdot b = 2 + 2 c \cdot d .

従って $a \cdot b = c \cdot d$ であり、

A B^{2} = ∣ b - a ∣^{2} = 2 - 2 a \cdot b = 2 - 2 c \cdot d = C D^{2} .

よって $A B = C D$ である。

(2)

$B^{'}, D^{'}$ の位置ベクトルは $- b, - d$ である。元の和から

a + c = - (b + d) = O B^{'} + O D^{'} .

従って線分 $A C$ と $B^{'} D^{'}$ の中点は一致し、四角形 $A B^{'} C D^{'}$ は平行四辺形である。

また同様に

∣ c - a ∣ = ∣ b - d ∣ = ∣ (- d) - (- b) ∣,

すなわち2本の対角線 $A C, B^{'} D^{'}$ は等しい。対角線が等しい平行四辺形は長方形である。4点が相異なるという仮定により退化しないので、 $A, B^{'}, C, D^{'}$ はこの順に長方形の頂点である。

京都大学 1997年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

京都大学 1997年度
後期・理系数学後期第3問