京都大学 1997年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

y = 2 x^{2} - 1, z = 2 y^{2} - 1, x = 2 z^{2} - 1

について、(1) 実数解では $∣ x ∣, ∣ y ∣, ∣ z ∣ ≦ 1$ を示せ．(2) 相異なる実数解が全部で8組あることを示せ．

出典：京都大学 1997年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

(1) 絶対値が最大の変数を選んで矛盾を示す。(2) $x = cos θ$ と置き、2倍角公式で $y, z$ を順に表して $cos 8 θ = cos θ$ を解き、重複を除いて数える。

$M = max (∣ x ∣, ∣ y ∣, ∣ z ∣)$ とする。 $M > 1$ と仮定し、例えば $M = ∣ x ∣$ とする。このとき

y = 2 x^{2} - 1 = 2 M^{2} - 1 > M

である。最後の不等式は

2 M^{2} - 1 - M = (2 M + 1) (M - 1) > 0

による。従って $∣ y ∣ > M$ となり、 $M$ の定義に矛盾する。他の変数が最大の場合も同様なので

∣ x ∣, ∣ y ∣, ∣ z ∣ ≦ 1.

(1)より $x = cos θ$ $(0 ≦ θ ≦ π)$ と書ける。2倍角公式から

y = cos 2 θ, z = cos 4 θ .

第3式は

cos θ = 2 cos^{2} 4 θ - 1 = cos 8 θ

となる。従って

8 θ = 2 k π + θ または 8 θ = 2 k π - θ .

$0 ≦ θ ≦ π$ で得られる値は

θ = \frac{2 k π}{7} (k = 0, 1, 2, 3)

および

θ = \frac{2 k π}{9} (k = 0, 1, 2, 3, 4)

である。両群で重なるのは $θ = 0$ だけなので、相異なる値は $4 + 5 - 1 = 8$ 個である。

各 $θ$ から

(x, y, z) = (cos θ, cos 2 θ, cos 4 θ)

を作れば元の3式をすべて満たす。また $0 ≦ θ ≦ π$ では $cos θ$ が狭義減少するので、8個の $θ$ は相異なる8組を与える。逆に任意の解はこの形に帰着したから、解は全部で8組である。