京都大学 1996年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

円周上の $n$ 等分点を公平なコインに従い1点または2点ずつ進む。

(1) 最初の1周で出発点を跳び越す確率 $p_{n}$ を求めよ。

(2) $k - 1$ 周目までは跳び越し、 $k$ 周目に初めて出発点を踏む確率 $q_{n, k}$ について、固定した $k ≧ 2$ に対する $lim_{n \to \infty} q_{n, k}$ を求めよ。

出典：京都大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

距離 $j$ をちょうど踏む確率 $h_{j}$ を解く。各周の跳び越し後は出発点の1点先にいるため、以後は距離 $n - 1$ に対する同一の試行が繰り返される。

距離 $j$ をちょうど踏む確率を $h_{j}$ とすると

h_{0} = 1, h_{1} = \frac{1}{2}, h_{j} = \frac{h _{j - 1} + h _{j - 2}}{2} .

従って

h_{j} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{j} .

距離 $n - 1$ を踏んでから2歩進む場合に限り出発点を跳び越すので

p_{n} = \frac{h _{n - 1}}{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n} .

1周目を跳び越す確率は $p_{n}$ である。跳び越した直後は目標点の1点先にいるので、次の出発点までの距離は $n - 1$ である。この距離を跳び越す確率は $p_{n - 1} = h_{n - 2} /2$ 、ちょうど踏む確率は $h_{n - 1}$ である。独立性より

q_{n, k} = p_{n} (p_{n - 1})^{k - 2} h_{n - 1} .

$n \to \infty$ で $p_{n}, p_{n - 1} \to 1/3$ 、 $h_{n - 1} \to 2/3$ だから

n \to \infty lim q_{n, k} = \frac{1}{3} (\frac{1}{3})^{k - 2} \frac{2}{3} = \frac{2}{3 ^{k}} .