京都大学 1996年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$0 < a ≦ 1$ 。 $x y$ 平面上の単位円内を長さ $2 a$ の辺 $P Q$ が動き、 $P Q$ を一辺とする正三角形 $P QR$ の面は $x y$ 平面に垂直、 $R$ の $z$ 座標は正とする。

(1) 三角形全体が動いてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

(2) $V$ の最大値を求めよ。

出典：京都大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

高さ $z$ で三角形を切ると、 $P Q$ と平行な半長 $b$ の線分になる。その線分が動いて覆う水平断面の半径を求めて積分する。

解答

正三角形の高さは $3 a$ である。高さ $z$ での切り口は $P Q$ と平行で、その半長は

b = a - \frac{z}{3} (0 ≦ z ≦ 3 a)

である。 $P Q$ の方向を単位ベクトル $e$ 、中点を $M$ とする。端点条件 $∣ M \pm a e ∣ ≦ 1$ のもとで、切り口上の点 $M + t e$ $(∣ t ∣ ≦ b)$ が原点から取り得る最大距離を求める。 $M = s e + q e_{⊥}$ とすれば $(∣ s ∣ + a)^{2} + q^{2} ≦ 1$ であり、距離の最大値の二乗は

(s + b)^{2} + 1 - (s + a)^{2} = 1 - a^{2} + b^{2} + 2 s (b - a) .

$0 ≦ b ≦ a$ なので最大は $s = 0$ であり、回転対称性から水平断面は半径 $1 - a^{2} + b^{2}$ の円板である。(1)従って

V = π \int_{0}^{3 a} {1 - a^{2} + (a - \frac{z}{3})^{2}} d z = π 3 \int_{0}^{a} (1 - a^{2} + b^{2}) d b = π 3 (a - \frac{2 a ^{3}}{3}) .

(2)

$0 < a ≦ 1$ で $V^{'} (a) = π 3 (1 - 2 a^{2})$ だから、 $a = 1/ 2$ で最大となる。最大値は

V_{m a x} = \frac{π 6}{3} .

京都大学 1996年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(2)

京都大学 1996年度
後期・理系数学後期第5問