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京都大学 1996年度
後期・理系数学後期第2問

試験区分: 後期日程第2次学力試験
対象: 理系
分野: 整数
解法: 合同式、実験・推測、存在証明
難易度: 3 / 10　　計算量 2 / 10　　目安 —

問題

$m < n$ を満たす自然数 $m, n$ で、 $m^{n} + 1, n^{m} + 1$ がともに10の倍数となるものを1組与えよ。

出典：京都大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

10を法として $- 1$ になる数を選ぶ。9の奇数乗が再び9になることを使って大小条件も満たす組を作る。

解答

$m = 9, n = 19$ とする。 $m < n$ であり、9の奇数乗は10を法として9に合同だから

9^{19} \equiv 9 (mod 10) .

また $19 \equiv 9 (mod 10)$ なので

1 9^{9} \equiv 9^{9} \equiv 9 (mod 10) .

従って $m^{n} + 1, n^{m} + 1$ はいずれも10で割り切れる。よって一例は

(m, n) = (9, 19) .