京都大学 1996年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$x + y > 0, x - y > 0$ とする。隣り合う2辺が $x + y, x - y$ 、残り4辺がすべて1である四面体が存在する点 $(x, y)$ の範囲を図示せよ。

出典：京都大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

共通頂点から出る3辺をベクトルとし、6辺長から内積を決める。3ベクトルが空間内で一次独立になる条件をグラム行列の行列式で表す。

特別な2辺の共通頂点を $O$ 、その端点を $A, B$ 、第4頂点を $C$ とする。 $u = O A$ 、 $v = O B$ 、 $w = O C$ とおくと

∣ u ∣^{2} = x + y, ∣ v ∣^{2} = x - y, ∣ w ∣^{2} = 1.

残りの辺長が1であることから

u \cdot v = x - \frac{1}{2}, u \cdot w = \frac{x + y}{2}, v \cdot w = \frac{x - y}{2} .

この3ベクトルのグラム行列の行列式は、展開して

det G = \frac{3 ( x ^{2} - y ^{2} )}{4} - (x - \frac{1}{2})^{2} = - \frac{( x - 2 ) ^{2} + 3 y ^{2} - 3}{4} .

四面体が正の体積をもつ必要十分条件は $G$ が正定値であることである。問題の条件 $x + y > 0, x - y > 0$ のもとでは、 $det G > 0$ なら2次の主小行列式も正になる。実際

x - \frac{1}{4} - y^{2} > 0

は $(x - 2)^{2} + 3 y^{2} < 3$ から従う。従って存在範囲は

x > ∣ y ∣, (x - 2)^{2} + 3 y^{2} < 3.

すなわち直線 $y = \pm x$ の間にあり、楕円 $(x - 2)^{2} + 3 y^{2} = 3$ の内部にある部分で、境界はいずれも含まない。