問題
原点でに交わる直線について、をで反転した点を、をで反転した点をとする。
(1) を示せ。
(2) が交点中心・半径1の円周上を動くとき、指定された折れ線の長さの最大値を求めよ。
出典：京都大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
二反転を120度回転と捉え、各反転で生じる線分を直線までの距離の2倍として正弦和へ直す。
解答
(1)
2直線の交点をとする。に関する反転に続くに関する反転は、を中心とする回転である。従ってはをそれぞれ回転した点であり、である。(2)の方向角を0、の偏角をとする。反転で結ばれる2点間の距離は反転軸までの距離の2倍なので、全長は
周期性からを調べればよく、この区間では3項は非負で、和は
等号はで成り立つから、最大値は