京都大学 1996年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする。

(1) 整数係数の $n$ 次式 $f_{n}$ と $n - 1$ 次式 $g_{n}$ で、 $cos n θ = f_{n} (cos θ)$ 、 $sin n θ = g_{n} (cos θ) sin θ$ を満たすものが存在することを示せ。

(2) $f_{n}^{'} (x) = n g_{n} (x)$ を示せ。

(3) 素数 $p ≧ 3$ について、 $f_{p}$ の $p - 1$ 次以下の係数がすべて $p$ で割り切れることを示せ。

出典：京都大学 1996年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

加法定理から $f_{n}, g_{n}$ の整数係数漸化式を作り、次数も帰納する。(2)は合成関数の微分、(3)は導関数の係数比較と $f_{p} (0)$ を使う。

解答

(1)

$f_{1} (x) = x, g_{1} (x) = 1$ とする。加法定理から、 $x = cos θ$ として

f_{n + 1} (x) g_{n + 1} (x) = x f_{n} (x) - (1 - x^{2}) g_{n} (x), = f_{n} (x) + x g_{n} (x)

と定めれば、 $cos (n + 1) θ = f_{n + 1} (cos θ)$ 、 $sin (n + 1) θ = g_{n + 1} (cos θ) sin θ$ となる。右辺は整数係数で、最高次項を調べると $f_{n + 1}$ は $n + 1$ 次、 $g_{n + 1}$ は $n$ 次である。従って数学的帰納法により存在する。(2) $- 1 < x < 1$ で $x = cos θ$ $(0 < θ < π)$ とおく。 $f_{n} (cos θ) = cos n θ$ を $θ$ で微分すると

- f_{n}^{'} (cos θ) sin θ = - n sin n θ = - n g_{n} (cos θ) sin θ .

$sin θ > 0$ なので $f_{n}^{'} (x) = n g_{n} (x)$ が $- 1 < x < 1$ で成り立つ。両辺は多項式だから、恒等的に成り立つ。(3) $f_{p} (x) = \sum_{j = 0}^{p} c_{j} x^{j}$ とする。(2)より

j = 1 \sum p j c_{j} x^{j - 1} = p g_{p} (x) .

従って $1 ≦ j ≦ p - 1$ では $p$ が $j c_{j}$ を割る。 $p$ は素数で $j$ を割らないため、 $p$ は $c_{j}$ を割る。また $p$ は奇数なので

c_{0} = f_{p} (0) = cos \frac{p π}{2} = 0.

よって $p - 1$ 次以下の係数はすべて $p$ で割り切れる。

京都大学 1996年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

京都大学 1996年度
後期・理系数学後期第1問