問題
5 (b)3個のさいころを同時に振る試行において，出た目の数の積が4で割り切れる事象をとする．
(1) 事象が起こる確率を求めよ．
(2) この試行を4回繰り返したとき，事象が2回以上起こる確率を求めよ．
(3) この試行を回繰り返したとき，事象が回起こればで確率変数を定義する．このとき，の期待値を求めよ．
出典：北海道大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問(b)
方針
1回の試行で積が4で割り切れる確率を、余事象「2の因数が合計0個または1個」で求める。成功確率が と分かれば、(2)は二項分布で「2回以上」を余事象から計算する。(3)も成功回数 が二項分布に従うので、 を二項定理で一括計算する。
解答
(1)
3個のさいころの目の積が4で割り切れるかどうかは、積に含まれる2の因数の個数で決まる。4で割り切れないのは、2の因数が合計0個または1個の場合である。
すべての目が奇数である確率は である。また、2の因数をちょうど1個だけ含むには、1個のさいころが または を出し、残り2個が奇数を出せばよい。したがってその確率は である。よって余事象の確率は であり、求める確率は である。
(2)
1回の試行で が起こる確率は 、起こらない確率は である。4回のうち が2回以上起こる確率は、0回または1回起こる確率を1から引けばよい。したがって
である。これを計算すると である。
(3)
回の試行で事象 が起こる回数を とする。すると は成功確率 の二項分布に従う。問題の確率変数は であるから
である。二項定理より
である。
別解。(1)は2の因数の個数を表す母関数でも確認できる。1個のさいころについて、2の因数を0個、1個、2個以上含む確率はそれぞれ である。3個について の0次と1次の係数だけを足すと になり、その余事象として を得る。