問題
(1) を正の定数とし，点を焦点にもち，を準線とする放物線をとする．上の点（ただし）を考え，点とを通る直線を，点を通り放物線の主軸に平行な直線をとする．このとき点におけるの接線は，とのなす角を2等分することを示せ．
(2) 放物線上の点 における接線と直線のなす角を とする．点を通り傾きがである直線はによらない定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ．
出典：北海道大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
(1)は放物線を と書き、接線の傾きと の傾きを角の2倍公式で比較する。(2)では放物線を と見て、 と置く。接線と鉛直線のなす角から を得て、与えられた傾きを に簡約し、直線が常に同じ点を通ることを代入で示す。
解答
(1)
焦点が 、準線が である放物線は である。点 はこの放物線上にあるので である。
点 における接線の傾きを とすると、 より であるから である。接線が 軸となす角を とすれば である。
一方、直線 の傾きは
である。ここで なので である。これは直線 の傾きに等しい。
直線 は放物線の主軸に平行、すなわち鉛直線である。接線の方向角を とすると、 の方向角は であり、上の等式は の方向が に対応することを示している。したがって接線 は と のなす角を2等分する。
(2)
与えられた放物線は である。 とおくと、仮定 より であり、点 は である。
接線の傾きは である。接線と鉛直線 のなす角を とするので、接線が水平線となす角を とすれば である。したがって である。
問題で与えられた直線の傾きは
である。よってその直線は で表される。
ここで を代入すると、右辺は である。したがって より となる。よってこの直線は によらず定点 を通る。