北海道大学 1997年度
理系数学 前期 第5問(a)

解答

$z=x+iy$ とおく。このとき $\overline{z}=x-iy$ である。計算すると $\alpha z+\beta \overline{z}=(a+bi)(x+iy)+(c+di)(x-iy)$ であり、実部と虚部はそれぞれ $(a+c)x+(d-b)y,(b+d)x+(a-c)y$ である。したがって同次方程式 $\alpha z+\beta \overline{z}=0$ は $(a+c)x+(d-b)y=0,(b+d)x+(a-c)y=0$ と同値である。

(1)

$|\alpha |=|\beta |$ より $a^2+b^2=c^2+d^2$ である。

まず $\overline{\alpha }+\beta \ne 0$ の場合を考える。このとき $\overline{\alpha }+\beta =(a+c)+(d-b)i$ なので、$(a+c,d-b)$ は $(0,0)$ ではない。指定された $z_0=(b-d)+(a+c)i$ について、実部を $x=b-d$、虚部を $y=a+c$ とする。すると第1式は $(a+c)(b-d)+(d-b)(a+c)=0$ となる。第2式は $(b+d)(b-d)+(a-c)(a+c)=b^2-d^2+a^2-c^2=0$ である。したがって $z_0$ は同次方程式の解である。また $a+c$ と $d-b$ が同時に0ではないので、$z_0\ne 0$ である。

次に $\overline{\alpha }+\beta =0$ の場合を考える。このとき $c=-a,d=b$ である。指定された $z_0=-a+bi$ について $x=-a$、$y=b$ とすると、第1式は係数がともに0なので成り立つ。第2式は $(2b)(-a)+(2a)b=0$ である。したがってこの場合も $z_0$ は同次方程式の解である。さらに $\alpha \ne 0$ なので $(-a,b)\ne (0,0)$ であり、$z_0\ne 0$ である。

(2)

方程式 $\alpha z+\beta \overline{z}+1=0$ は、実部と虚部を比較して $(a+c)x+(d-b)y+1=0,(b+d)x+(a-c)y=0$ となる。$|\alpha |\ne |\beta |$ なので $D=a^2+b^2-c^2-d^2\ne 0$ である。

この連立方程式を解く。第1式、第2式から消去すると $x=\frac{c-a}{D},y=\frac{b+d}{D}$ を得る。したがって解の実部と虚部は

である。

(3)

$|\alpha |=|\beta |$ とする。(1)より、同次方程式 $\alpha z+\beta \overline{z}=0$ は0でない解 $z_0$ をもつ。

いま、方程式(*)が解 $z_1$ をもつとする。すなわち $\alpha z_1+\beta \overline{z_1}+1=0$ である。このとき $z_1+z_0$ を代入すると

となる。したがって $z_1+z_0$ も(*)の解である。しかも $z_0\ne 0$ だから $z_1+z_0\ne z_1$ である。よって(*)は $z_1$ と異なる解をもつ。