北海道大学 1997年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

$f(x)=\{x^2-(a+2)x+a+2\}{e}^x$ とおく。微分すると $f^{\prime }(x)=\{2x-(a+2)+x^2-(a+2)x+a+2\}{e}^x$ である。中を整理して $f^{\prime }(x)=(x^2-ax)e^x=x(x-a)e^x$ を得る。$e^x>0$ なので、符号は $x(x-a)$ で決まる。 $a>0$ のとき、$f^{\prime }(x)$ は $x<0$ で正、$0<x<a$ で負、$x>a$ で正である。したがって $x=a$ が極小点である。このとき $b=f(a)=\{a^2-(a+2)a+a+2\}{e}^a=(2-a)e^a$ である。 $a<0$ のとき、$f^{\prime }(x)$ は $x<a$ で正、$a<x<0$ で負、$x>0$ で正である。したがって $x=0$ が極小点である。このとき $b=f(0)=a+2$ である。

よって

である。

(2)

問題の定義より

である。$a<0$ 側では $g(a)=0$ となるのは $a=-2$、$a>0$ 側では $g(a)=0$ となるのは $a=2$ である。したがって $a$ 軸と囲まれる有限な図形は $-2\leqq a\leqq 2$ にある。

この範囲で $g(a)\geqq 0$ なので、面積は ${\int }_{-2}^0(a+2)da+{\int }_0^2(2-a)e^{a}da$ である。前半は ${\int }_{-2}^0(a+2)da=2$ である。後半は $\int (2-a)e^{a}da=(3-a)e^a$ だから ${\int }_0^2(2-a)e^{a}da={\left[(3-a)e^a\right]}_0^2=e^2-3$ である。したがって求める面積は $2+(e^2-3)=e^2-1$ である。