北海道大学 1997年度
理系数学 前期 第3問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 数列
- 解法
- 漸化式の変形、和の計算、極限計算
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 30分
問題
pを0でない実数とする．数列a1,a2,⋯⋯を次のように定義する．
a1=1,an+1=pan+p−n(n=1,2,⋯⋯)
(1) ∣p∣=1のとき，anを求めよ．
(2) ∣p∣=1のとき，anを求めよ．
(3) n→∞limanan+1を求めよ．
出典：北海道大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
漸化式を反復すると、an は指数が2ずつ下がる n 個の項の和になる。∣p∣=1 では全項が同じ値になるので別扱いし、∣p∣=1 では等比数列の和として閉じた形にする。極限は ∣p∣>1、∣p∣=1、∣p∣<1 で支配項が変わるため、特に ∣p∣<1 では低い指数の項が支配することに注意する。
解答
漸化式 an+1=pan+p−n を順に展開する。まず a2=p+p−1 であり、a3=p(p+p−1)+p−2=p2+1+p−2 である。この形から、一般に an=pn−1+pn−3+⋯+p1−n となることがわかる。実際、右辺を p 倍して p−n を加えると、次の an+1 の形になるので帰納的に正しい。
(1)
∣p∣=1 で p は実数だから p=1またはp=−1 である。上で得た和には n 個の項があり、指数はすべて n−1 と同じ偶奇である。したがって an=npn−1 である。すなわち p=1 のとき an=n,p=−1 のとき an=(−1)n−1n である。
(2)
∣p∣=1 のときは、p2=1 である。したがって an=pn−1(1+p−2+p−4+⋯+p−2(n−1)) であり、等比数列の和を用いて an=pn−11−p−21−p−2n となる。分母分子を整理すると an=p2−1pn+1−p1−n である。
(3)
∣p∣>1 のとき、(2)の式で pn+1 が支配的であるから anan+1→p である。 p=1 のときは an=n なので anan+1=nn+1→1=p である。p=−1 のときは an=(−1)n−1n なので anan+1=−nn+1→−1=p である。 ∣p∣<1 のとき、(2)の式では p1−n が支配的である。したがって an∼−p2−1p1−n であり、anan+1→p1 である。以上より
n→∞limanan+1=⎩⎨⎧pp1(∣p∣≧1),(∣p∣<1)
である。
別解。bn=p1−nan とおくと、漸化式から bn+1=bn+p−2n となる。よって bn=1+p−2+p−4+⋯+p−2(n−1) であり、これに pn−1 を掛ければ上と同じ一般項を得る。
