横浜国立大学 2025年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の曲線 $C : x = y^{2}$ を考える。実数 $t$ に対して，曲線 $C$ 上の点 $(t^{2}, t)$ における $C$ の法線を $l$ とする。次の問いに答えよ。

(1) 法線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) 曲線 $C$ と直線 $x = 1$ で囲まれる領域を $D$ とする。また，実数 $t$ が $t ≦ 0$ をみたしながら動くとき，法線 $l$ が通過する領域を $E$ とする。 $D$ と $E$ の共通部分を求め，図示せよ。

(3) (2)で求めた $D$ と $E$ の共通部分の面積を求めよ。

出典：横浜国立大学 2025年度前期理系第5問

曲線 $x = y^{2}$ は $(x, y) = (t^{2}, t)$ をパラメータ表示として扱う。法線を求めた後， $t ≦ 0$ を $a = - t ≧ 0$ に置き換え，固定した $x$ に対して法線が取り得る $y$ の最大値を求める。面積は $D$ 内の縦切り積分で計算する。

$(x, y) = (t^{2}, t)$ と見ると，接線の方向ベクトルは $(2 t, 1)$ である。したがって法線の方程式は

y - t = - 2 t (x - t^{2})

である。これは $t = 0$ のときも $y = 0$ を与える。

$t ≦ 0$ として $a = - t ≧ 0$ とおく。法線の方程式は

y = 2 a (x - \frac{1}{2}) - 2 a^{3}

となる。固定した $x$ に対して右辺を $a ≧ 0$ の関数と見ると， $0 ≦ x ≦ 1/2$ では最大値は0であり， $1/2 ≦ x ≦ 1$ では最大値は

\frac{4}{3 3} (x - \frac{1}{2})^{3/2}

である。領域 $D$ は

0 ≦ x ≦ 1, - x ≦ y ≦ x

であるから，共通部分は

0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}, - x ≦ y ≦ 0

および

\frac{1}{2} ≦ x ≦ 1, - x ≦ y ≦ \frac{4}{3 3} (x - \frac{1}{2})^{3/2}

で表される領域である。これを図示すればよい。

(2)より面積は

\int_{0}^{1/2} x d x + \int_{1/2}^{1} {x + \frac{4}{3 3} (x - \frac{1}{2})^{3/2}} d x

である。したがって

\int_{0}^{1} x d x + \frac{4}{3 3} \cdot \frac{2}{5} (\frac{1}{2})^{5/2} = \frac{2}{3} + \frac{2}{15 6}

である。