横浜国立大学 2025年度理系数学第2問解答・解説

問題

1個のさいころを3回投げ，出た目を順に $n_{1}$ ， $n_{2}$ ， $n_{3}$ とする。 $O$ を原点とする $x y$ 平面上の点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ を

A_{k} (cos \frac{2 n _{k} π}{5}, sin \frac{2 n _{k} π}{5}) (k = 1, 2, 3)

によって定める。

次の問いに答えよ。

(1) 点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ がすべて一致する確率を求めよ。

(2) $O A_{1} + O A_{2}$ と $O A_{3}$ が平行になる確率を求めよ。

(3) $O A_{1} + O A_{2}$ と $O A_{3}$ が平行になるという条件のもとで， $n_{1}$ ， $n_{2}$ ， $n_{3}$ がすべて奇数である条件付き確率を求めよ。

出典：横浜国立大学 2025年度前期理系第2問

点は正五角形の頂点で，出目1と6だけが同じ点を与える。各頂点の重みを考えて数える。(2)では，2つの単位ベクトルの和の向きが正五角形のどの頂点方向になるかを表にし，(3)ではそのうち奇数の出目だけを数える。

出目1と6は同じ点を与え，出目2，3，4，5はそれぞれ別の点を与える。したがって3点が一致する場合の数は

2^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} + 1^{3} = 12

である。全事象は $6^{3} = 216$ 通りなので，確率は

\frac{12}{216} = \frac{1}{18}

である。

出目を5で割った余りで考える。ただし余り1に対応する出目は1と6の2通り，その他の余りに対応する出目は1通りである。正五角形の頂点方向を $0, 1, 2, 3, 4$ で表すと，2つの方向 $i, j$ の和が頂点方向 $k$ と平行になる条件は

2 k \equiv i + j (mod 5)

である。各余りの重みを $m_{0} = m_{2} = m_{3} = m_{4} = 1$ ， $m_{1} = 2$ とすると， $k = 0, 1, 2, 3, 4$ に対応する通り数はそれぞれ $7, 16, 7, 7, 7$ であり，合計44通りである。したがって求める確率は

\frac{44}{216} = \frac{11}{54}

である。

(2)の44通りのうち， $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ がすべて奇数であるものは

(1, 1, 1), (1, 5, 3), (3, 3, 3), (5, 1, 3), (5, 5, 5)

の5通りである。よって条件付き確率は

\frac{5}{44}

である。