横浜国立大学 2025年度理系数学第1問(1) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 関数 $f (x) = \frac{cos x}{2 + sin x}$ （ $0 < x < 2 π$ ）に対して， $x y$ 平面上の曲線 $y = f (x)$ を $C$ とする。 $f (x)$ の増減，極値， $C$ の凹凸，変曲点を調べ， $C$ の概形を描け。

出典：横浜国立大学 2025年度前期理系第1問(1)

$f^{'} (x)$ と $f^{''} (x)$ を直接計算する。分母 $2 + sin x$ は常に正なので，符号判定は分子だけで行える。端点での値も確認し，増減・凹凸・変曲点をまとめて概形を記述する。

f^{'} (x) = - \frac{1 + 2 sin x}{( 2 + sin x ) ^{2}}

である。分母は正であるから， $f^{'} (x) = 0$ となるのは $sin x = - 1/2$ ，すなわち

x = \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}

である。したがって， $f (x)$ は

(0, 7 π /6) で減少, (7 π /6, 11 π /6) で増加, (11 π /6, 2 π) で減少

する。極小値は

f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{3}{3}

であり，極大値は

f (\frac{11 π}{6}) = \frac{3}{3}

である。

次に

f^{''} (x) = - \frac{2 cos x ( 1 - sin x )}{( 2 + sin x ) ^{3}}

である。よって $C$ は

(0, π /2) と (3 π /2, 2 π) で上に凸, (π /2, 3 π /2) で下に凸

である。変曲点は

(\frac{π}{2}, 0), (\frac{3 π}{2}, 0)

である。さらに $x \to 0 + 0$ ， $x \to 2 π - 0$ で $f (x) \to 1/2$ である。以上を用いて概形を描けばよい。