横浜国立大学 2025年度理系数学第4問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 実数 $x$ に対して， $e^{x} ≧ x + 1$ が成り立つことを示せ。

(2) 数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = 1, a_{n} = \frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3} a_{n - 1} (n = 2, 3, 4, \dots)

によって定める。

(i) $n = 2, 3, 4, \dots$ に対して，

1 < \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}}

が成り立つことを示せ。

(ii) $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して， $1 ≦ a_{n} < e^{1/3}$ が成り立つことを示せ。

出典：横浜国立大学 2025年度前期理系第4問

方針

(1)は $e^{x} - x - 1$ の最小値で示す。(2)では比 $a_{n} / a_{n - 1}$ を有理式に直し， $1$ より大きいことと， $1 + 1/ (3 n (n - 1))$ より小さいことをそれぞれ展開で示す。上からの評価は(1)の $e^{x} > 1 + x$ を使って指数の和を望ましい形にする。

解答

(1)

$g (x) = e^{x} - x - 1$ とおく。 $g^{'} (x) = e^{x} - 1$ であるから， $g (x)$ は $x < 0$ で減少し， $x > 0$ で増加する。よって最小値は $x = 0$ での $g (0) = 0$ である。したがって

e^{x} ≧ x + 1

がすべての実数 $x$ で成り立つ。

(2)(i)

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} = \frac{n}{n - 1} (1 - \frac{1}{3 n})^{3} = \frac{( 3 n - 1 ) ^{3}}{27 n ^{2} ( n - 1 )}

である。ここで

(3 n - 1)^{3} - 27 n^{2} (n - 1) = 9 n - 1 > 0

だから， $a_{n} / a_{n - 1} > 1$ である。したがって

1 < \frac{a _{n}}{a _{n - 1}} e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}}

である。

(2)(ii)

(i)で示したように $a_{n} / a_{n - 1} > 1$ であるから， $a_{1} = 1$ より $1 ≦ a_{n}$ である。

一方，

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < 1 + \frac{1}{3 n ( n - 1 )}

である。実際，両辺に $27 n^{2} (n - 1)$ を掛けると，これは

(3 n - 1)^{3} < 27 n^{2} (n - 1) + 9 n

となり，左辺は $27 n^{3} - 27 n^{2} + 9 n - 1$ なので成り立つ。(1)より $1 + x < e^{x}$ （ $x > 0$ ）であるから，

\frac{a _{n}}{a _{n - 1}} < e^{\frac{1}{3 n ( n - 1 )}}

である。これを $2, 3, \dots, n$ について順に用いると

a_{n} < e^{\sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{3 k ( k - 1 )}} = e^{\frac{1}{3} (1 - 1/ n)} < e^{1/3}

となる。よって

1 ≦ a_{n} < e^{1/3}

である。

横浜国立大学 2025年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)(i)

(2)(ii)

横浜国立大学 2025年度
理系数学第4問