横浜国立大学 2025年度理系数学第1問(2) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(2) 次の極限値を求めよ。

t \to \infty lim (\int_{1}^{t} lo g \frac{x + 1}{x} d x - lo g t)

出典：横浜国立大学 2025年度前期理系第1問(2)

対数の差を積分し，原始関数を直接作る。最後は $(t + 1) lo g (1 + 1/ t)$ の極限を， $u = 1/ t$ として基本極限に直す。

\int lo g \frac{x + 1}{x} d x = (x + 1) lo g (x + 1) - x lo g x - 1

である。したがって

\int_{1}^{t} lo g \frac{x + 1}{x} d x = (t + 1) lo g (t + 1) - t lo g t - 2 lo g 2

である。よって求める式は

(t + 1) lo g (t + 1) - (t + 1) lo g t - 2 lo g 2 = (t + 1) lo g (1 + \frac{1}{t}) - 2 lo g 2

となる。 $u = 1/ t$ とおくと， $t \to \infty$ で $u \to 0 + 0$ であり，

(t + 1) lo g (1 + \frac{1}{t}) = \frac{1 + u}{u} lo g (1 + u) \to 1

である。したがって極限値は

1 - 2 lo g 2

である。