横浜国立大学 2020年度理系数学第5問解答・解説

問題

$a$ を正の実数とする。 $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して，

I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n + a - 1} e^{- x} d x

と定める。次の問いに答えよ。

(1) $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して， $I_{n} ≦ \frac{1}{n + a}$ を示せ。

(2) $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して， $I_{n + 1} - (n + a) I_{n}$ を求めよ。

(3) 極限値 $lim_{n \to \infty} n I_{n}$ を求めよ。

(4) 実数 $b, c$ に対して， $J_{n} = n^{3} (I_{n} + \frac{b}{n} + \frac{c}{n ^{2}}) (n = 1, 2, 3, \dots)$ と定める。数列 ${J_{n}}$ が収束するとき，次の問いに答えよ。

(ア) $b$ を求めよ。

(イ) $c$ を $a$ の式で表せ。

(ウ) 極限値 $lim_{n \to \infty} J_{n}$ を $a$ の式で表せ。

出典：横浜国立大学 2020年度前期理系第5問

方針

(1) は $0 ≦ x ≦ 1$ で $e^{- x} ≦ 1$ を使う。(2) は $x^{n + a} e^{- x}$ の導関数を積分する。(3) は $x^{n + a - 1}$ が $x = 1$ 付近で効くことを，不等式によるはさみうちで示す。(4) は部分積分を繰り返して $I_{n}$ を3項まで正確に表し，残りが $n^{3}$ 倍しても消えることを確認してから $b, c$ と極限値を決める。

解答

(1)

$0 ≦ x ≦ 1$ で $e^{- x} ≦ 1$ であるから

I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n + a - 1} e^{- x} d x ≦ \int_{0}^{1} x^{n + a - 1} d x = \frac{1}{n + a}

である。

(2)

\frac{d}{d x} (x^{n + a} e^{- x}) = (n + a) x^{n + a - 1} e^{- x} - x^{n + a} e^{- x}

である。これを $0$ から $1$ まで積分すると

e^{- 1} = (n + a) I_{n} - I_{n + 1}

となる。したがって

I_{n + 1} - (n + a) I_{n} = - \frac{1}{e}

である。

(3)

まず $e^{- 1} ≦ e^{- x} ≦ 1$ より

\frac{e ^{- 1}}{n + a} ≦ I_{n} ≦ \frac{1}{n + a}

である。上限をさらに細かく見る。 $0 < ε < 1$ とし，積分区間を $[0, 1 - ε]$ と $[1 - ε, 1]$ に分けると

I_{n} ≦ \int_{0}^{1 - ε} x^{n + a - 1} d x + e^{- 1 + ε} \int_{1 - ε}^{1} x^{n + a - 1} d x

である。両辺に $n$ を掛けて $n \to \infty$ とすると，第一項は0に近づき，第二項の上限は $e^{- 1 + ε}$ である。 $ε$ は任意に小さくできるので

n \to \infty lim n I_{n} = \frac{1}{e}

である。

(4)

部分積分より

I_{n} = \frac{e ^{- 1}}{n + a} + \frac{I _{n + 1}}{n + a}

である。これを繰り返すと， $N = n + a$ として

I_{n} = \frac{e ^{- 1}}{N} + \frac{e ^{- 1}}{N ( N + 1 )} + \frac{e ^{- 1}}{N ( N + 1 ) ( N + 2 )} + \frac{I _{n + 3}}{N ( N + 1 ) ( N + 2 )}

を得る。(1)より最後の項は $n^{3}$ 倍しても0に近づく。

$J_{n}$ が収束するには，まず $n I_{n} \to e^{- 1}$ であることから

b = - \frac{1}{e}

でなければならない。次に，上の表示から

n \to \infty lim n^{2} (I_{n} - \frac{1}{e n}) = \frac{1 - a}{e}

である。したがって

c = \frac{a - 1}{e}

でなければ， $n^{3} (I_{n} - \frac{1}{e n} + \frac{c}{n ^{2}})$ は収束しない。よって

c = \frac{a - 1}{e}

である。

このとき

J_{n} = n^{3} (I_{n} - \frac{1}{e n} + \frac{a - 1}{e n ^{2}})

である。上の表示を用いて極限を計算すると

n \to \infty lim n^{3} (\frac{1}{N} - \frac{1}{n} + \frac{a}{n ^{2}}) = a^{2},

n \to \infty lim n^{3} (\frac{1}{N ( N + 1 )} - \frac{1}{n ^{2}}) = - (2 a + 1),

n \to \infty lim \frac{n ^{3}}{N ( N + 1 ) ( N + 2 )} = 1

であるから

n \to \infty lim J_{n} = \frac{1}{e} {a^{2} - (2 a + 1) + 1} = \frac{a ( a - 2 )}{e}

である。

横浜国立大学 2020年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

横浜国立大学 2020年度
理系数学第5問