横浜国立大学 2020年度理系数学第2問解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 実数 $A, B, C, D$ に対して，複素数 $z$ を

z = \frac{A + 5 B i}{C + 5 D i}

で定める。ただし， $C + 5 D i \neq = 0$ とする。このとき， $z = x + y i$ をみたす実数 $x, y$ を $A, B, C, D$ の式で表せ。

(2) 次をみたす整数 $A, B, C, D$ を求めよ。

⎩ ⎨ ⎧ \frac{16 + 5 i}{29} = \frac{A + 5 B i}{C + 5 D i}, A D - B C = - 1, D > 0

出典：横浜国立大学 2020年度前期理系第2問

(1) は分母の共役な複素数を掛け，実部と虚部を読む。(2) では (1) の式と $A D - B C = - 1$ を組み合わせて $C^{2} + 5 D^{2} = 29$ を得る。 $D > 0$ から $D$ の候補を少数に絞り，残った一次方程式を解く。

分母の共役な複素数を掛けると

z = \frac{( A + 5 B i ) ( C - 5 D i )}{C ^{2} + 5 D ^{2}} = \frac{A C + 5 B D + 5 ( B C - A D ) i}{C ^{2} + 5 D ^{2}}

である。したがって

x = \frac{A C + 5 B D}{C ^{2} + 5 D ^{2}}, y = \frac{5 ( B C - A D )}{C ^{2} + 5 D ^{2}}

である。

(1)と与えられた条件 $A D - B C = - 1$ より， $B C - A D = 1$ である。虚部を比較すると

\frac{5}{C ^{2} + 5 D ^{2}} = \frac{5}{29}

であるから

C^{2} + 5 D^{2} = 29

を得る。 $D > 0$ で整数だから， $D = 1$ では $C^{2} = 24$ となり不適， $D = 2$ では $C^{2} = 9$ となる。よって

D = 2, C = \pm 3

である。

また実部を比較して

A C + 5 B D = 16

である。 $C = 3, D = 2$ のとき

3 A + 10 B = 16, 2 A - 3 B = - 1

となり，整数解をもたない。 $C = - 3, D = 2$ のとき

- 3 A + 10 B = 16, 2 A + 3 B = - 1

であり，これを解くと

A = - 2, B = 1

である。したがって求める整数は

(A, B, C, D) = (- 2, 1, - 3, 2)

である。