横浜国立大学 2020年度理系数学第1問(2) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(2) 定積分

\int_{π /6}^{π /4} \frac{lo g ( sin x )}{tan x} d x

を求めよ。

出典：横浜国立大学 2020年度前期理系第1問(2)

$1/ tan x = cos x / sin x$ であるから，被積分関数は $lo g (sin x)$ とその導関数の形になっている。 $u = lo g (sin x)$ とおき，端点での $sin x$ の値を代入する。

\frac{1}{tan x} = \frac{cos x}{sin x}

であるから， $u = lo g (sin x)$ とおくと

d u = \frac{cos x}{sin x} d x

である。したがって

\int_{π /6}^{π /4} \frac{lo g ( sin x )}{tan x} d x = \int_{l o g (1/2)}^{l o g (2 /2)} u d u = \frac{1}{2} [u^{2}]_{l o g (1/2)}^{l o g (2 /2)} .

ここで

lo g \frac{2}{2} = - \frac{1}{2} lo g 2, lo g \frac{1}{2} = - lo g 2

であるから，求める値は

\frac{1}{2} {\frac{1}{4} (lo g 2)^{2} - (lo g 2)^{2}} = - \frac{3}{8} (lo g 2)^{2}

である。