問題
空間に，2点を通る直線がある。また，上の点と，軸上の点は
をみたす。次の問いに答えよ。
(1) の座標を求めよ。
(2) の座標を求めよ。
(3) 線分を軸のまわりに1回転してできる曲面と，を含み軸に垂直な平面と，を含み軸に垂直な平面で囲まれた立体の体積を求めよ。
出典：横浜国立大学 2020年度 前期 理系 第4問
方針
直線 を1つの媒介変数で表す。(1) は が 平面に垂直で，かつ が 軸上にあることから， の 座標が0になる条件で決まる。(2) は が 軸上にあり， が 軸に垂直であるため 型になることを使い，さらに の方向ベクトルとの内積を0にする。(3) は線分上の点の 座標を変数にして，回転半径の2乗を積分する。
解答
(1)
直線 の方向ベクトルとして をとると， 上の点は
と表せる。 平面で が 軸上にあるため， の 座標は0である。よって
から であり，
である。
(2)
とする。 軸で が 軸上にあるから
であり，
である。これが の方向ベクトル と垂直だから
である。これより となり，
である。
(3)
線分 上の点を上の媒介変数 で表すと， であるから である。 は を動く。このとき
であり， 軸からの距離の2乗は
である。したがって求める体積は
である。