横浜国立大学 2020年度理系数学第1問(1) 解答・解説

問題

次の問いに答えよ。

(1) 関数

f (x) = (e^{x} - 1) cos x - sin x (- \frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{π}{2})

の増減，極値を調べ，そのグラフの概形を描け。ただし，グラフの凹凸，変曲点は調べなくてよい。

出典：横浜国立大学 2020年度前期理系第1問(1)

方針

導関数を計算し， $e^{x} - 1$ と $cos x - sin x$ の符号で増減を分ける。端点と増減の変わる $x = 0, π /4$ での値を求め，グラフの通過点と単調性を文章で指定する。

解答

(1)

微分すると

f^{'} (x) = e^{x} cos x - (e^{x} - 1) sin x - cos x = (e^{x} - 1) (cos x - sin x)

である。区間 $- \frac{π}{2} ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ で， $e^{x} - 1$ は $x < 0$ で負， $x = 0$ で0， $x > 0$ で正である。また $cos x - sin x$ は $x < \frac{π}{4}$ で正， $x = \frac{π}{4}$ で0， $x > \frac{π}{4}$ で負である。

したがって増減は

- \frac{π}{2} < x < 0 で減少, 0 < x < \frac{π}{4} で増加, \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} で減少

である。値は

f (- \frac{π}{2}) = 1, f (0) = 0,

f (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2} (e^{π /4} - 2), f (\frac{π}{2}) = - 1

である。よって $x = 0$ で極小値 $0$ ， $x = \frac{π}{4}$ で極大値 $\frac{2}{2} (e^{π /4} - 2)$ をとる。

グラフは点 $(- \frac{π}{2}, 1)$ から減少して $(0, 0)$ に達し，その後 $x = \frac{π}{4}$ まで増加し，そこから $(\frac{π}{2}, - 1)$ まで減少する。 $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ に $x$ 軸との交点を1つもつ。

% 図は省略

横浜国立大学 2020年度理系数学 第1問(1)

問題

方針

解答

(1)

横浜国立大学 2020年度
理系数学第1問(1)